A teoria da relatividade afirma que observadores em movimento relativo concordam quanto à forma das equações que descrevem os fenômenos observados. é necessário então descobrir a lei de transformação que leva à descrição feita em um referencial para o outro. Matematicamente esta é uma transformação particular de coordenadas, que passamos a explorar.

Suponhamos que dois observadores em movimento relativo analisam um pulso de luz. Cada observador está em repouso nos referenciais \(S\) e \(S^{\prime}\) com origens respectivamente em \(O\) e \(O^{\prime} . \hspace{0.75em} S^{\prime}\) se move com velocidade \(v\) no direção do eixo \(Ox\) em relação a \(S\). Como a velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais inerciais, o que foi demonstrado pelo experimento de Michelson-Morley, os observadores devem ver o pulso de luz se afastando de forma esférica. Se isto não fosse verdade um dos observadores seria capaz de determinar seu movimento relativo em relação ao outro, o que contradiz o princípio da relatividade. Consideremos ainda dois eventos infinitesimalmente próximos ligados por este raio de luz. Para os observadores em \(S\) e \(S^{\prime}\) estes eventos estarão separados por \(ds^{\prime}\) e \(ds^{\prime,}\) respectivamente dados por
$$
ds^2 = – dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2,
$$

$$
ds^{\prime 2} = – dt^{\prime 2} + dx^{\prime 2} + dy^{\prime 2} +
dz^{\prime 2} .
$$

Devido à invariância da velocidade da luz estas separação deverão ser iguais, \(ds^{\prime 2} = ds^2\). Observamos que a transformação de Galileu não deixa invariante uma frente de onda de luz que satisfaz, no referencial em repouso com relação à fonte, a equação \(x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2\). Sabemos da observação⁽⁵⁾ que partículas livres seguem trajetórias que são linhas retas e isto deve ser preservado em qualquer referencial inercial. Procuramos então uma transformação linear⁽⁶⁾ na forma de
$$
\begin{array}{cl}
x^{\prime} & = \alpha x + \mu t\\
y^{\prime} & = y\\
z^{\prime} & = z\\
t^{\prime} & = \lambda x + \delta t,
\end{array}
$$

onde \(\alpha, \hspace{0.75em} \beta, \hspace{0.75em} \gamma \hspace{0.75em} \text{e} \hspace{0.75em} \delta \hspace{0.75em} \) são constantes a determinar. Sem perda de generalidade podemos colocar o observador fixo na origem de \(S^{\prime}\) e, portanto, sua coordenada \(x^{\prime} = 0\) enquanto \(x\) será sua coordenada do ponto de vista do observador em \(S\). Como consequência
$$
x^{\prime} = \alpha x + \mu t = 0 \Rightarrow \frac{x}{t} = v = –
\frac{\mu}{\alpha} .
$$

Já um observador fixo na origem de \(S\) \(\left( x = 0 \right)\) terá em \( S^{\prime} \) as coordenadas
$$
x^{\prime} = – \alpha vt ; \hspace{0.75em} t^{\prime} = \delta t.
$$

O referencial \(S\) se afasta de \(S^{\prime}\) com velocidade \(– v\) e
$$
\frac{x^{\prime}}{t^{\prime}} = – v = – \frac{\alpha}{\delta} v
$$

e, portanto \(\alpha = \delta\). Resta descobrir \(\alpha\) e \(\gamma\) na transformação
$$
\begin{array}{cl}
x^{\prime} & = \alpha \left( x – vt \right)\\
t^{\prime} & = \lambda x + \alpha t.
\end{array}
$$

Para o observador em \(S^{\prime}\) a frente de onda será vista como
$$
x^{\prime 2} + y^{\prime 2} + z^{\prime 2} = c^2 t^{\prime 2} \Rightarrow
\alpha^2 \left( x – vt \right)^2 + y^2 + z^2 = c^2 \left( \lambda x +
\alpha t \right)^2 \Rightarrow
$$

$$
x^2 \left( \alpha^2 – \lambda^2 c^2 \right) + y^2 + z^2 – 2 xt \left(
\alpha^2 v + c^2 \alpha \lambda \right) = c^2 t^2 \left( \alpha^2 –
\alpha^2 v^2 / c^2 \right) .
$$

Para igualarmos esta expressão à \(x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2\) devemos ter
$$
\alpha^2 – \lambda^2 c^2 = 1 ; \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \alpha^2 – \alpha^2 v^2 / c^2 ;
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \alpha^2 v
+ c^2 \alpha \lambda = 0,
$$

cuja solução é
$$
\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}}, \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \lambda = \frac{- v /
c^2}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}} .
$$

As transformações de coordenadas que deixam invariante a frente de onda luminosa são as chamadas transformações de Lorentz e são dadas por

$$
x^{\prime} = \frac{x – vt}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}},
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} y^{\prime} = y
$$

$$
t^{\prime} = \frac{t – vx / c^2}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}},
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} z^{\prime} =
z. \label{TransfLorentz}
$$
As transformações inversas, para se transformar a descrição do referencial \(S^{\prime}\) para \(S\) , pode ser obtida simplesmente lembrando que \(S\) se move com velocidade \(– v\) em relação a \(S^{\prime}\). Portanto
$$
x = \frac{x^{\prime} + vt^{\prime}}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}},
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} y = y^{\prime}
$$

$$
t = \frac{t^{\prime} + vx^{\prime} / c^2}{\sqrt{1 – \left( v / c
\right)^2}}, \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} z = z^{\prime} .
$$

Revisando a contração espacial e dilatação temporal

Uma vez obtidas as transformações de Lorentz os efeitos da contração espacial e dilatação \ temporal se tornam mais fáceis de serem verificados. Suponha por exemplo, que queremos medir o comprimento de uma régua que tem uma ponta em \(x_1\) e a outra em \(x_2\). No referencial de repouso seu comprimento será
$$
L_0 = x_2 – x_1 .
$$

Para um observador em movimento, com velocidade \(v\) ao longo do comprimento da régua, seu comprimento será
$$
L = x_2^{\prime} \left( t^{\prime} \right) – x_1^{\prime} \left( t^{\prime}
\right) .
$$

Observe que as medidas de cada ponto devem ser feitas no mesmo instante, \(t^{\prime}\). De acordo com a transformação de Lorentz temos
$$
x^{\prime} = \gamma \left( x – vt \right) \Rightarrow x = \gamma \left(
x^{\prime} + vt^{\prime} \right)
$$

e, portanto,
$$
\begin{array}{cl}
x_2 = & \gamma \left( x_2^{\prime} + vt^{\prime} \right)\\
x_1 = & \gamma \left( x_1^{\prime} + vt^{\prime} \right)
\end{array} .
$$

Dai podemos concluir que o observador em movimento mede um comprimento \(L\) para a régua menor que o medido no referencial de repouso:
$$
L_0 = x_2 – x_1 = \gamma \left( x_2^{\prime} – x_1^{\prime} \right) =
\gamma L.
$$

Invariância da equação de onda

Um exercício interessante pode ser feito para mostrar que a equação a equação de onda para a luz é invariante sob a transformação de Lorentz. Das equações de Maxwell se pode deduzir que a luz obedece a equação
$$
\left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2}{\partial z^2} – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial
t^2} \right] \Phi \left( x, y, z, t \right) = 0,
$$

que é a equação de onda se propagando com velocidade \(c\). Em um referencial em movimento \(S^{\prime}\) teremos
$$
\left[ \frac{\partial^2}{\partial x^{\prime 2}} +
\frac{\partial^2}{\partial y^{\prime 2}} + \frac{\partial^2}{\partial
z^{\prime 2}} – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^{\prime 2}}
\right] \Phi \left( x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime} \right)
= 0
$$

sendo que \(\Phi\) é um escalar, satisfazendo portanto \(\Phi \left( x, y, z, t \right) = \Phi \left( x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime} \right)\). Para simplificar as operações vamos considerar o caso de uma onda plana, com propagação na direção de \(x\) apenas, descrita por \(\Phi \left(x, t \right)\). Para relacionar as derivadas temos
$$
x^{\prime} = \gamma \left( x – vt \right) ; \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} t^{\prime} = \gamma \left( t – vx / c^2
\right),
$$

e, portanto, as derivadas espaciais e temporal em termos das novas
variáveis:
$$
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial \Phi}{\partial
x^{\prime}} \frac{\partial x^{\prime}}{\partial x} + \frac{\partial
\Phi}{\partial t^{\prime}} \frac{\partial t^{\prime}}{\partial x} = \gamma
\frac{\partial \Phi}{\partial x^{\prime}} – \frac{\gamma v}{c^2}
\frac{\partial \Phi}{\partial t^{\prime}},
$$

$$
\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{\partial \Phi}{\partial
x^{\prime}} \frac{\partial x^{\prime}}{\partial t} + \frac{\partial
\Phi}{\partial t^{\prime}} \frac{\partial t^{\prime}}{\partial t} = –
\gamma v \frac{\partial \Phi}{\partial x^{\prime}} + \gamma \frac{\partial
\Phi}{\partial t^{\prime}} .
$$

Os operadores derivadas se relacionam, nos dois sistemas de coordenadas, da seguinte forma:
$$
\frac{\partial}{\partial x} = \gamma \frac{\partial}{\partial x^{\prime}} –
\frac{\gamma v}{c^2} \frac{\partial}{\partial t^{\prime}} ;
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \frac{\partial}{\partial t}
= – \gamma v \frac{\partial}{\partial x^{\prime}} + \gamma
\frac{\partial}{\partial t^{\prime}} .
$$

Podemos construir a regra de transformação para as derivadas segundas,
$$
\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(
\frac{\partial}{\partial x} \right) = \left( \gamma
\frac{\partial}{\partial x^{\prime}} – \gamma \frac{v}{c^2}
\frac{\partial}{\partial t^{\prime}} \right) \left( \gamma
\frac{\partial}{\partial x^{\prime}} – \gamma \frac{v}{c^2}
\frac{\partial}{\partial t^{\prime}} \right) =
$$

$$
= \gamma^2 \left( \frac{\partial^2}{\partial x^{\prime 2}} – \frac{2
v}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial x^{\prime} \partial t^{\prime}} +
\frac{v^2}{c^4} \frac{\partial^2}{\partial t^{\prime 2}} \right) ;
$$

$$
\frac{\partial^2}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial t} \left(
\frac{\partial}{\partial t} \right) = \left( – \gamma v
\frac{\partial}{\partial x^{\prime}} + \gamma \frac{\partial}{\partial
t^{\prime}} \right) \left( – \gamma v \frac{\partial}{\partial x^{\prime}}
+ \gamma \frac{\partial}{\partial t^{\prime}} \right) =
$$

$$
= \gamma^2 \left( v^2 \frac{\partial^2}{\partial x^{\prime 2}} – 2 v
\frac{\partial^2}{\partial x^{\prime} \partial t^{\prime}} +
\frac{\partial^2}{\partial t^{\prime 2}} \right) .
$$

Escrevendo a equação de onda no referencial em movimento temos
$$
\left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} – \frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right] \Phi = 0 \Rightarrow
$$

$$
\gamma^2 \left[ \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^{\prime 2}} \left( 1 –
\frac{v^2}{c^2} \right) – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial
t^{\prime 2}} \left( 1 – \frac{v^2}{c^2} \right) \right] = 0,
$$

ou, simplesmente,
$$
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^{\prime 2}} – \frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^{\prime 2}} = 0,
$$

o que mostra a invariância da equação de onda sob transformações de Lorentz. De fato se pode mostrar que as equações de Maxwell são invariantes sob estas transformações. Lorentz deduziu corretamente a formas destas transformações à partir das equações do eletromagnetismo, mas não foi capaz de aplicá-las ao uso da mecânica, como fez Einstein.

Transformação de velocidades

A partir das transformações de Lorentz
$$
x^{\prime} = \gamma \left( x – vt \right), \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} y^{\prime} = y, \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} z^{\prime} = z,
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} t^{\prime}
= \gamma \left( t – vx / c^2 \right),
$$

podemos obter uma expressão para a relação entre velocidades nos dois referenciais inerciais. Denotamos por
$$
u_x = dx / dt \text{e} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
u_x^{\prime} = dx^{\prime} / dt^{\prime}
$$

as velocidades em \(S\) e \(S^{\prime}\) respectivamente e calculamos as diferenciais
$$
dx^{\prime} = \gamma \left( dx – vdt \right), \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} dy^{\prime} = dy,
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} dz^{\prime}
= dz, \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
dt^{\prime} = \gamma \left( dt – v / c^2 dx \right) .
$$

O componente em \(x\) da velocidade é
$$
u_x^{\prime} = \frac{dx^{\prime}}{dt^{\prime}} = \frac{dx – vdt}{dt – v /
c^2 dx} = \frac{u_x – v}{1 – v / c^2 u_x} .
$$

Na última igualdade dividimos numerador e denominador por \(dt\). Da mesma forma podemos encontrar o componente \(y\) ,
$$
u_y^{\prime} = \frac{dy^{\prime}}{dt^{\prime}} = \frac{dy}{\gamma \left( dt
– v / c^2 dx \right)} = \frac{u_y}{\gamma \left( 1 – v / c^2 u_x \right)},
$$

e o componente \(z\) ,
$$
u_z^{\prime} = \frac{dz^{\prime}}{dt^{\prime}} = \frac{dz}{\gamma \left( dt
– v / c^2 dx \right)} = \frac{u_z}{\gamma \left( 1 – v / c^2 u_x \right)} .
$$

Isto mostra que os vetores velocidades não se somam da mesma forma que na mecânica de Newton.

Exemplo: Uma partícula A se move com velocidade \(v_A = 0, 5 c\) no referencial do laboratório, e emite uma partícula B com velocidade \(v_B = 0, 5 c\) em relação à sua própria velocidade. Qual a velocidade \(W\) da partícula B no laboratório? O laboratorio tem velocidade \(– v_A\) em relação a partícula:
$$
W = \frac{v_A + v_B}{1 + v_A v_B / c^2} = \frac{c}{1 + \left( 0, 5
\right)^2} = 0, 8 c.
$$

Tempo Próprio

Vimos que as medidas do tempo variam com a velocidade do observador que analisa o fenômeno sob consideração. O tempo próprio \(\tau\) de uma partícula é definido como o tempo medido por um observador que se move junto com a partícula, no chamado referencial comóvel. Neste caso \(dx = dy = dz = 0\) para o este observador. Como a separação em \(M_4\) é invariante temos, em comparação com um outro observador qualquer, temos que
$$
ds^2 = – c^2 d \tau^2 = – c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2,
$$

ou seja,
$$
d \tau^2 = dt^2 – \frac{1}{c^2} \left( dx^2 – dy^2 – dz^2 \right) = \left(
1 – \frac{v^2}{c^2} \right) dt^2,
$$

onde foi feita a substituição
$$
v^2 = \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 +
\left( \frac{dz}{dt} \right)^2,
$$

sendo \(v\) a velocidade relativa entre os dois referenciais e, por conseguinte, a velocida da partícula estudada pelo observador não comóvel. Podemos ainda escrever
$$
d \tau = dt \sqrt{1 – \left( v / c \right)^2} = dt \sqrt{1 – \beta^2}
$$

e, como consequência
$$
\frac{dt}{d \tau} = \frac{1}{\sqrt{1 – \beta^2}} .
$$

O tempo próprio é um escalar
$$
d \tau^2 = \frac{- 1}{c^2} ds^2
$$

e portanto invariante sob mudanças de coordenadas que satisfazem as transformações de Lorentz. Por este motivo é um bom candidato a ser usado como parâmetro nas equações do movimento.

A estrutura do espaço-tempo

Como veremos, a simples exigência de que a velocidade da luz seja a mesma quando medida por um observador em um referencial inercial qualquer implica em profundas consequências tanto para o entendimento da mecânica quanto da estrutura do espaço-tempo.

Simultaneidade

Considere a situação ilustrada na figura 2. Dois eventos ocorrem em \(P\) e \(P^{\prime}\) igualmente distantes do observador \(O\) que está em repouso. Está observador poderá, por exemplo, coletar luz emitida pelos eventos e concluirá que os eventos foram simultâneos.

Outro observador \(O^{\prime}\) está em movimento na direção da separação entre os eventos. Como os sinais de luz levam algum tempo para alcançá-lo ele terá se deslocado de \(\Delta x\) na direção de \( P^{\prime}\) e, portanto, afirmará que \(P^{\prime}\) ocorreu antes que \(P\). Isto mostra que a simultaneidade não é um conceito absoluto. No entanto um observador em movimento transversal com relação à separação \(PP^{\prime}\), com qualquer velocidade, afirmará que os eventos ocorreram ao mesmo tempo.

Dilatação temporal

Na apresentação da TRE Einstein muitas vezes considerou necessário descrever uma forma operacional para se medir uma determinada quantidade. Para medir um intervalo de tempo, por exemplo, nada melhor que construir um relógio de luz, dada a constância de sua velocidade para todos os referenciais inerciais. Considere que dois observadores medem um intervalo de tempo, um deles no referencial \(O\) que se move com velocidade v em relação a \(O^{\prime}\). Um sinal de luz é emitido do ponto \(P_1\) , refletido por um espelho e coletado de volta em \(P_2\) ,como ilustrado na figura 3.

O observador \(O\) carrega consigo o relógio de luz e verifica que o tempo completo de ida e volta do sinal de luz é \(T = 2 \Delta t\) onde
$$ \Delta t = \frac{L}{c} . $$

O observador \(O^{\prime}\) , por sua vez, vê o relógio passar com velocidade \(v\) e medirá um intervalo de tempo \(T^{\prime} = 2 \Delta t^{\prime}\). Observe na figura que, pelo teorema de Pitágoras, temos
$$
L^{\prime 2} + \left( v \Delta t^{\prime} \right)^2 = \left( c \Delta
t^{\prime} \right)^2
$$

e, portanto,
$$
L^{\prime 2} = \Delta t^{\prime 2} \left( c^2 – v^2 \right) .
$$

Concluimos dai que
$$
\Delta t^{\prime} = \frac{L^{\prime}}{\sqrt{c^2 – v^2}} =
\frac{L^{\prime}}{c} \frac{1}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}} .
$$

Observe que \(L^{\prime} = L\) , pois não há ambiguidade no comprimento de distâncias perpendiculares à direção do movimento, logo
$$
T = \frac{2 L}{c}, \hspace{0.75em} T^{\prime} = \frac{2 L}{c}
\frac{1}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}} .
$$

Concluimos que
$$
T^{\prime} = \frac{T}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}},
$$
ou seja, o observador \(O^{\prime}\) mede intervalos de tempo maiores para o relógio em movimento, se comparado com as medidas do observador \(O\) , que está em repouso em relação ao relógio.

Contração espacial

Colocamos agora uma régua para medir a distância entre \(P_1\) e \(P_2\) nos dois referenciais. No primeiro caso ilustrado na figura 4, um observador \(O^{\prime}\) em repouso em relaçao à régua vê o feixe de luz ser emitido em \(P_1\) e recoletado em \(P_2\).

Como, para este observador, o intervalo de tempo gasto pela luz para percorrer o trajeto de ida é volta é \(T^{\prime}\), dado pela equação 3, a distância medida é \(R_0 =\) \(\overline{P_1 P_2} = vT^{\prime}\). Do ponto de vista do observador em \(O\) o relógio está fixo enquanto régua se move com velocidade \(– v\) e o tempo envolvido é \(T\). Portanto a distância percorrida é \( R = vT. \) Como conclusão os dois observadores medem uma distância diferente, relacionadas por
$$
\frac{R_0}{R} = \frac{T^{\prime}}{T} = \frac{1}{\sqrt{1 – \left( v / c
\right)^2}},
$$

o que representa uma contração espacial no sentido do movimento. O observador em movimento em relação à régua, vê seu comprimento como
$$
R = \sqrt{1 – \left( v / c \right)^2} R_0,
$$

onde \(R_0\) é o comprimento obtido por um observador parado em relação à régua.

é costume se definir os seguintes termos para o uso no contexto da TRE. A velocidade relativa do referencial ou objeto em estudo é
$$
\beta = \frac{v}{c},
$$

enquando

$$
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \left( \frac{v}{c} \right)^2}} =
\frac{1}{\sqrt{1 – \beta^2}} . \label{Gamma}
$$
Com estas definições podemos escrever
$$
T^{\prime} = \gamma T^{\prime}, \text{} R^{\prime} = R \sqrt{1 – \beta^2} .
$$

Concluímos que dois observadores em movimento relativo obtém diferentes resultados para medidas de intervalos de tempo e de distância ao longo do movimento. Cada observador verá as réguas do outro com menores comprimentos e seus relógios batendo mais devagar. Este fenômeno é irrelevante para os objetos da experiência diária, que têm velocidades pequenas se comparadas à da luz. No entanto dentro de aceleradores de partículas é possível acelerar partículas até velocidades muito próximas de \(c\) e, nesta situação, os efeitos relativísticos se tornam importantes.

Inúmeros exemplos podem ser citados como comprovação experimental destes resultados. Dentro dos aceladores de partículas são produzidas partículas \(\tau\) (tau), que têm meia-vida aproximada de \(3, 05 \times 10^{- 13}\) s quando observadas por um observador em repouso no referencial do laboratório. Elas se apresentam com velocidades muito altas, bem próximas da velocidade da luz⁽⁴⁾. Portanto, estas partículas não pode viajar em média uma distância superior a
$$
d = 3 \times 10^8 \hspace{0.25em} \text{m.s}^{- 1} \times 3, 05 \times
10^{- 13} \hspace{0.25em} \text{s} = 9, 15 \times 10^{- 5} \hspace{0.25em}
\text{m},
$$

antes que decaiam sob a forma de outras partículas. No entanto se observa que elas viajam por distâncias muito superiores a esta! A solução para o aparente paradoxo está na TRE. No referencial do laboratório as partículas estão em altas velocidades e por isto seus relógios internos batem mais devagar, permitindo uma viagem mais longa antes do decaimento. Para um referencial colocado sobre as partículas, o chamado referencial comóvel, o tempo flui inalterado mas as distâncias ao longo do movimento ficam contraídas e o resultado final é o mesmo.

Ambos os fenômenos dependem do fator \(\gamma\) definido acima. Partículas \(\tau\) geradas no SLAC, Stanford Linear Accelerator Collider atingem tipicamente \(\gamma = 20\) e as partículas viajam por uma distância média de
$$
20 \times (9, 15 \times 10^{- 5} \hspace{0.25em} \text{m}) = 1, 8 \times
10^{- 2} \hspace{0.25em} \text{m} \approx 1, 8 \hspace{0.25em}
\text{mm}.
$$

Na prática, em um laboratório, a medida do alcance média das partículas é usada para se calcular a meia-vida do \(\tau\).

As transformações de Lorentz