A teoria da relatividade afirma que observadores em movimento relativo concordam quanto à forma das equações que descrevem os fenômenos observados. é necessário então descobrir a lei de transformação que leva à descrição feita em um referencial para o outro. Matematicamente esta é uma transformação particular de coordenadas, que passamos a explorar.

Suponhamos que dois observadores em movimento relativo analisam um pulso de luz. Cada observador está em repouso nos referenciais \(S\) e \(S^{\prime}\) com origens respectivamente em \(O\) e \(O^{\prime} . \hspace{0.75em} S^{\prime}\) se move com velocidade \(v\) no direção do eixo \(Ox\) em relação a \(S\). Como a velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais inerciais, o que foi demonstrado pelo experimento de Michelson-Morley, os observadores devem ver o pulso de luz se afastando de forma esférica. Se isto não fosse verdade um dos observadores seria capaz de determinar seu movimento relativo em relação ao outro, o que contradiz o princípio da relatividade. Consideremos ainda dois eventos infinitesimalmente próximos ligados por este raio de luz. Para os observadores em \(S\) e \(S^{\prime}\) estes eventos estarão separados por \(ds^{\prime}\) e \(ds^{\prime,}\) respectivamente dados por
$$
ds^2 = – dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2,
$$

$$
ds^{\prime 2} = – dt^{\prime 2} + dx^{\prime 2} + dy^{\prime 2} +
dz^{\prime 2} .
$$

Devido à invariância da velocidade da luz estas separação deverão ser iguais, \(ds^{\prime 2} = ds^2\). Observamos que a transformação de Galileu não deixa invariante uma frente de onda de luz que satisfaz, no referencial em repouso com relação à fonte, a equação \(x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2\). Sabemos da observação⁽⁵⁾ que partículas livres seguem trajetórias que são linhas retas e isto deve ser preservado em qualquer referencial inercial. Procuramos então uma transformação linear⁽⁶⁾ na forma de
$$
\begin{array}{cl}
x^{\prime} & = \alpha x + \mu t\\
y^{\prime} & = y\\
z^{\prime} & = z\\
t^{\prime} & = \lambda x + \delta t,
\end{array}
$$

onde \(\alpha, \hspace{0.75em} \beta, \hspace{0.75em} \gamma \hspace{0.75em} \text{e} \hspace{0.75em} \delta \hspace{0.75em} \) são constantes a determinar. Sem perda de generalidade podemos colocar o observador fixo na origem de \(S^{\prime}\) e, portanto, sua coordenada \(x^{\prime} = 0\) enquanto \(x\) será sua coordenada do ponto de vista do observador em \(S\). Como consequência
$$
x^{\prime} = \alpha x + \mu t = 0 \Rightarrow \frac{x}{t} = v = –
\frac{\mu}{\alpha} .
$$

Já um observador fixo na origem de \(S\) \(\left( x = 0 \right)\) terá em \( S^{\prime} \) as coordenadas
$$
x^{\prime} = – \alpha vt ; \hspace{0.75em} t^{\prime} = \delta t.
$$

O referencial \(S\) se afasta de \(S^{\prime}\) com velocidade \(– v\) e
$$
\frac{x^{\prime}}{t^{\prime}} = – v = – \frac{\alpha}{\delta} v
$$

e, portanto \(\alpha = \delta\). Resta descobrir \(\alpha\) e \(\gamma\) na transformação
$$
\begin{array}{cl}
x^{\prime} & = \alpha \left( x – vt \right)\\
t^{\prime} & = \lambda x + \alpha t.
\end{array}
$$

Para o observador em \(S^{\prime}\) a frente de onda será vista como
$$
x^{\prime 2} + y^{\prime 2} + z^{\prime 2} = c^2 t^{\prime 2} \Rightarrow
\alpha^2 \left( x – vt \right)^2 + y^2 + z^2 = c^2 \left( \lambda x +
\alpha t \right)^2 \Rightarrow
$$

$$
x^2 \left( \alpha^2 – \lambda^2 c^2 \right) + y^2 + z^2 – 2 xt \left(
\alpha^2 v + c^2 \alpha \lambda \right) = c^2 t^2 \left( \alpha^2 –
\alpha^2 v^2 / c^2 \right) .
$$

Para igualarmos esta expressão à \(x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2\) devemos ter
$$
\alpha^2 – \lambda^2 c^2 = 1 ; \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \alpha^2 – \alpha^2 v^2 / c^2 ;
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \alpha^2 v
+ c^2 \alpha \lambda = 0,
$$

cuja solução é
$$
\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}}, \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \lambda = \frac{- v /
c^2}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}} .
$$

As transformações de coordenadas que deixam invariante a frente de onda luminosa são as chamadas transformações de Lorentz e são dadas por

$$
x^{\prime} = \frac{x – vt}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}},
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} y^{\prime} = y
$$

$$
t^{\prime} = \frac{t – vx / c^2}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}},
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} z^{\prime} =
z. \label{TransfLorentz}
$$
As transformações inversas, para se transformar a descrição do referencial \(S^{\prime}\) para \(S\) , pode ser obtida simplesmente lembrando que \(S\) se move com velocidade \(– v\) em relação a \(S^{\prime}\). Portanto
$$
x = \frac{x^{\prime} + vt^{\prime}}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}},
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} y = y^{\prime}
$$

$$
t = \frac{t^{\prime} + vx^{\prime} / c^2}{\sqrt{1 – \left( v / c
\right)^2}}, \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} z = z^{\prime} .
$$

Revisando a contração espacial e dilatação temporal

Uma vez obtidas as transformações de Lorentz os efeitos da contração espacial e dilatação \ temporal se tornam mais fáceis de serem verificados. Suponha por exemplo, que queremos medir o comprimento de uma régua que tem uma ponta em \(x_1\) e a outra em \(x_2\). No referencial de repouso seu comprimento será
$$
L_0 = x_2 – x_1 .
$$

Para um observador em movimento, com velocidade \(v\) ao longo do comprimento da régua, seu comprimento será
$$
L = x_2^{\prime} \left( t^{\prime} \right) – x_1^{\prime} \left( t^{\prime}
\right) .
$$

Observe que as medidas de cada ponto devem ser feitas no mesmo instante, \(t^{\prime}\). De acordo com a transformação de Lorentz temos
$$
x^{\prime} = \gamma \left( x – vt \right) \Rightarrow x = \gamma \left(
x^{\prime} + vt^{\prime} \right)
$$

e, portanto,
$$
\begin{array}{cl}
x_2 = & \gamma \left( x_2^{\prime} + vt^{\prime} \right)\\
x_1 = & \gamma \left( x_1^{\prime} + vt^{\prime} \right)
\end{array} .
$$

Dai podemos concluir que o observador em movimento mede um comprimento \(L\) para a régua menor que o medido no referencial de repouso:
$$
L_0 = x_2 – x_1 = \gamma \left( x_2^{\prime} – x_1^{\prime} \right) =
\gamma L.
$$

Invariância da equação de onda

Um exercício interessante pode ser feito para mostrar que a equação a equação de onda para a luz é invariante sob a transformação de Lorentz. Das equações de Maxwell se pode deduzir que a luz obedece a equação
$$
\left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2}{\partial z^2} – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial
t^2} \right] \Phi \left( x, y, z, t \right) = 0,
$$

que é a equação de onda se propagando com velocidade \(c\). Em um referencial em movimento \(S^{\prime}\) teremos
$$
\left[ \frac{\partial^2}{\partial x^{\prime 2}} +
\frac{\partial^2}{\partial y^{\prime 2}} + \frac{\partial^2}{\partial
z^{\prime 2}} – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^{\prime 2}}
\right] \Phi \left( x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime} \right)
= 0
$$

sendo que \(\Phi\) é um escalar, satisfazendo portanto \(\Phi \left( x, y, z, t \right) = \Phi \left( x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime} \right)\). Para simplificar as operações vamos considerar o caso de uma onda plana, com propagação na direção de \(x\) apenas, descrita por \(\Phi \left(x, t \right)\). Para relacionar as derivadas temos
$$
x^{\prime} = \gamma \left( x – vt \right) ; \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} t^{\prime} = \gamma \left( t – vx / c^2
\right),
$$

e, portanto, as derivadas espaciais e temporal em termos das novas
variáveis:
$$
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial \Phi}{\partial
x^{\prime}} \frac{\partial x^{\prime}}{\partial x} + \frac{\partial
\Phi}{\partial t^{\prime}} \frac{\partial t^{\prime}}{\partial x} = \gamma
\frac{\partial \Phi}{\partial x^{\prime}} – \frac{\gamma v}{c^2}
\frac{\partial \Phi}{\partial t^{\prime}},
$$

$$
\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{\partial \Phi}{\partial
x^{\prime}} \frac{\partial x^{\prime}}{\partial t} + \frac{\partial
\Phi}{\partial t^{\prime}} \frac{\partial t^{\prime}}{\partial t} = –
\gamma v \frac{\partial \Phi}{\partial x^{\prime}} + \gamma \frac{\partial
\Phi}{\partial t^{\prime}} .
$$

Os operadores derivadas se relacionam, nos dois sistemas de coordenadas, da seguinte forma:
$$
\frac{\partial}{\partial x} = \gamma \frac{\partial}{\partial x^{\prime}} –
\frac{\gamma v}{c^2} \frac{\partial}{\partial t^{\prime}} ;
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \frac{\partial}{\partial t}
= – \gamma v \frac{\partial}{\partial x^{\prime}} + \gamma
\frac{\partial}{\partial t^{\prime}} .
$$

Podemos construir a regra de transformação para as derivadas segundas,
$$
\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(
\frac{\partial}{\partial x} \right) = \left( \gamma
\frac{\partial}{\partial x^{\prime}} – \gamma \frac{v}{c^2}
\frac{\partial}{\partial t^{\prime}} \right) \left( \gamma
\frac{\partial}{\partial x^{\prime}} – \gamma \frac{v}{c^2}
\frac{\partial}{\partial t^{\prime}} \right) =
$$

$$
= \gamma^2 \left( \frac{\partial^2}{\partial x^{\prime 2}} – \frac{2
v}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial x^{\prime} \partial t^{\prime}} +
\frac{v^2}{c^4} \frac{\partial^2}{\partial t^{\prime 2}} \right) ;
$$

$$
\frac{\partial^2}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial t} \left(
\frac{\partial}{\partial t} \right) = \left( – \gamma v
\frac{\partial}{\partial x^{\prime}} + \gamma \frac{\partial}{\partial
t^{\prime}} \right) \left( – \gamma v \frac{\partial}{\partial x^{\prime}}
+ \gamma \frac{\partial}{\partial t^{\prime}} \right) =
$$

$$
= \gamma^2 \left( v^2 \frac{\partial^2}{\partial x^{\prime 2}} – 2 v
\frac{\partial^2}{\partial x^{\prime} \partial t^{\prime}} +
\frac{\partial^2}{\partial t^{\prime 2}} \right) .
$$

Escrevendo a equação de onda no referencial em movimento temos
$$
\left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} – \frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right] \Phi = 0 \Rightarrow
$$

$$
\gamma^2 \left[ \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^{\prime 2}} \left( 1 –
\frac{v^2}{c^2} \right) – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial
t^{\prime 2}} \left( 1 – \frac{v^2}{c^2} \right) \right] = 0,
$$

ou, simplesmente,
$$
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^{\prime 2}} – \frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^{\prime 2}} = 0,
$$

o que mostra a invariância da equação de onda sob transformações de Lorentz. De fato se pode mostrar que as equações de Maxwell são invariantes sob estas transformações. Lorentz deduziu corretamente a formas destas transformações à partir das equações do eletromagnetismo, mas não foi capaz de aplicá-las ao uso da mecânica, como fez Einstein.

Transformação de velocidades

A partir das transformações de Lorentz
$$
x^{\prime} = \gamma \left( x – vt \right), \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} y^{\prime} = y, \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} z^{\prime} = z,
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} t^{\prime}
= \gamma \left( t – vx / c^2 \right),
$$

podemos obter uma expressão para a relação entre velocidades nos dois referenciais inerciais. Denotamos por
$$
u_x = dx / dt \text{e} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
u_x^{\prime} = dx^{\prime} / dt^{\prime}
$$

as velocidades em \(S\) e \(S^{\prime}\) respectivamente e calculamos as diferenciais
$$
dx^{\prime} = \gamma \left( dx – vdt \right), \hspace{0.75em}
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} dy^{\prime} = dy,
\hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} dz^{\prime}
= dz, \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \hspace{0.75em}
dt^{\prime} = \gamma \left( dt – v / c^2 dx \right) .
$$

O componente em \(x\) da velocidade é
$$
u_x^{\prime} = \frac{dx^{\prime}}{dt^{\prime}} = \frac{dx – vdt}{dt – v /
c^2 dx} = \frac{u_x – v}{1 – v / c^2 u_x} .
$$

Na última igualdade dividimos numerador e denominador por \(dt\). Da mesma forma podemos encontrar o componente \(y\) ,
$$
u_y^{\prime} = \frac{dy^{\prime}}{dt^{\prime}} = \frac{dy}{\gamma \left( dt
– v / c^2 dx \right)} = \frac{u_y}{\gamma \left( 1 – v / c^2 u_x \right)},
$$

e o componente \(z\) ,
$$
u_z^{\prime} = \frac{dz^{\prime}}{dt^{\prime}} = \frac{dz}{\gamma \left( dt
– v / c^2 dx \right)} = \frac{u_z}{\gamma \left( 1 – v / c^2 u_x \right)} .
$$

Isto mostra que os vetores velocidades não se somam da mesma forma que na mecânica de Newton.

Exemplo: Uma partícula A se move com velocidade \(v_A = 0, 5 c\) no referencial do laboratório, e emite uma partícula B com velocidade \(v_B = 0, 5 c\) em relação à sua própria velocidade. Qual a velocidade \(W\) da partícula B no laboratório? O laboratorio tem velocidade \(– v_A\) em relação a partícula:
$$
W = \frac{v_A + v_B}{1 + v_A v_B / c^2} = \frac{c}{1 + \left( 0, 5
\right)^2} = 0, 8 c.
$$

Tempo Próprio

Vimos que as medidas do tempo variam com a velocidade do observador que analisa o fenômeno sob consideração. O tempo próprio \(\tau\) de uma partícula é definido como o tempo medido por um observador que se move junto com a partícula, no chamado referencial comóvel. Neste caso \(dx = dy = dz = 0\) para o este observador. Como a separação em \(M_4\) é invariante temos, em comparação com um outro observador qualquer, temos que
$$
ds^2 = – c^2 d \tau^2 = – c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2,
$$

ou seja,
$$
d \tau^2 = dt^2 – \frac{1}{c^2} \left( dx^2 – dy^2 – dz^2 \right) = \left(
1 – \frac{v^2}{c^2} \right) dt^2,
$$

onde foi feita a substituição
$$
v^2 = \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 +
\left( \frac{dz}{dt} \right)^2,
$$

sendo \(v\) a velocidade relativa entre os dois referenciais e, por conseguinte, a velocida da partícula estudada pelo observador não comóvel. Podemos ainda escrever
$$
d \tau = dt \sqrt{1 – \left( v / c \right)^2} = dt \sqrt{1 – \beta^2}
$$

e, como consequência
$$
\frac{dt}{d \tau} = \frac{1}{\sqrt{1 – \beta^2}} .
$$

O tempo próprio é um escalar
$$
d \tau^2 = \frac{- 1}{c^2} ds^2
$$

e portanto invariante sob mudanças de coordenadas que satisfazem as transformações de Lorentz. Por este motivo é um bom candidato a ser usado como parâmetro nas equações do movimento.

A estrutura do espaço-tempo