Segue um exemplo de um tipo de questão recorrente em testes de admissão em empresas de tecnologia. Outras soluções, além da aqui apresentada, são encontradas em sites, como por exemplo no canal do Youtube Universo Narrado.
Dois arcos perpendiculares seccionam um círculo, como mostrado na figura 1. Qual é o raio do círculo?
Para resolver esse problema vamos estabelecer um sistema de coordenadas (os eixos em vermelho na figura 2) paralelo aos arcos dados e que passa pelos pontos \(a\) e \(b\).
Nesse sistema as coordenadas são \(a=(0, 2)\) e \(b=(1, 0)\). Vamos ainda designar por \(c=(x, y)\) as coordenadas do centro do círculo. O arco \(s’\) é paralelo e simétrico à \(s\) e ajuda a perceber que o centro do disco tem coordenada \(x=2.5\), ou seja, \(c=(2.5,y)\). Resta encontrar o valor de \(y\).
Denotando por \(r = d(p_1, p_2)\) a distância entre dois pontos \(p_1\) e \(p_2\), sabemos que \(r= d(a,c) = d(b,c)\), que é o raio do círculo. Em termos das coordenadas temos:
$$
d^2(a,c) = 2.5^2 + (y-2)^2, \\
d^2(b,c) = 1.5^2 + y^2.
$$
Igualando os dois termos encontramos \(y=2\), ou seja \(c=(2.5, 2)\). O raio procurado é $$r = d(b,c) = \sqrt{1.5^2 + 2^2} = 2.5.$$
Usamos acima o fato de que, se \(d(a,c) = d(b,c)\) então \(d^2(a,c) = d^2(b,c)\) pois \(d^2\) é estritamente crescente para \(d > 0\).
A Distância mais Curta
Figura 3
Dados dois pontos A e B que estão do mesmo lado de uma reta r e não são pontos desta reta, qual é o caminho mais curto ligando A e B e que toca a reta r, (figura 3)?
Considerando que podemos desenhar infinitos caminhos que satisfazem o requisito de ligar os pontos e tocar a reta r, este é um problema de se encontrar um mínimo. Quase sempre este tipo de problema exige um pouco de cálculo em sua solução. Neste caso o raciocínio geométrico pode ser útil e nos dispensar do cálculo. Comecemos por desenhar um ponto B’ simétrico ao ponto B em relação à reta (figura 4). Observamos que a distância entre x e B é a mesma que entre x e B’, onde x é qualquer ponto de r.
Figura 5
Como consequência a distância entre A e B, passando por x é mesma que a distância entre A e B’, também passando por x. Agora, sabemos que o caminho mais curto entre dois pontos é um segmento de reta, logo o ponto x = q deve estar na reta que liga A a B’. Pronto, esta é a solução para o problema (figura 5)!
Gauss e a soma dos 100 primeiros inteiros
Conta-se que Gauss teria encontrado a soma dos 100 primeiros inteiros em 30 segundos, na escola primária. Seu professor, aborrecido com a algazarra que faziam as crianças, teria mandado que todos calculassem esta soma e Gauss apresentou a resposta rapidamente. Esta é, na verdade, uma operação que pode ser feita de cabeça se você tiver a criatividade de Gauss …
Enquanto os colegas faziam as contas: 1 + 2 + 3 + . . . . + 99 + 100 = S, Gauss agrupou os inteiros em duas colunas e depois somou os números em cada linha:Vemos que Gauss obteve 50 linhas cuja soma é 101. A soma total é, portanto, 50 × 101 = 5050.
No caso geral, para somar todos os inteiros de 1 até N basta fazer: 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . + N = (1 + N) × (N/2)
Você pode provar esta última afirmação?
Rolagem de discos
Figura 6
Esta questão apareceu no SAT americano (um teste usado para admissões nas universidades, aplicado no mundo todo) em 1982. Apenas 3 alunos entre os 300 mil que fizeram o teste acertaram. Até os examinadores que prepararam o problema erraram a solução e a questão teve que ser retirada da pontuação. No entanto é possível resolver essa questão com conhecimentos do nosso ensino médio.
O raio do disco A (vermelho, na figura 6) é de 1/3 do raio do disco B (cinza). O disco A desliza sem escorregar sobre o disco B até dar uma volta completa em torno do disco B e retornar para a sua posição original.
Quantas voltas o disco A terá dado em torno de si mesmo?
Vamos chamar de \(s\) o ponto de \(A\), e \(p\) o ponto de \(B\) em contato no início, como mostrado na figura 7. A circunferência de \(B\) é 3 vezes maior que a de \(A\) (pois \(R = 3r\)) portanto, no deslizamento \(s\) vai tocar \(B\) em três pontos, \(p\), \(p\prime\) e \(p\prime\prime\), que dividem a circunferência de \(B\) em 3 partes iguais. No primeiro contato, quando \(s\) tocar \(p\prime\), o ângulo \(\alpha \) será de \(1/3\) de volta. O ponto \(s\) de \(A\) terá dado uma volta inteira mais \(\beta \).
Mas, observe na figura 7 que \(\alpha = \beta\). Isso significa que o ponto \(s\) girou \((1+1/3)\) voltas. Por simetria ele fará o mesmo de \(p\prime\) até \(p\prime\prime\), e depois de \(p\prime\prime\) até \(p\). Portanto o ponto \(s\) terá girado \(3(1+1/3) = 4\) voltas.
Enquanto os colegas faziam as contas: 1 + 2 + 3 + . . . . + 99 + 100 = S, Gauss agrupou os inteiros em duas colunas e depois somou os números em cada linha:Vemos que Gauss obteve 50 linhas cuja soma é 101. A soma total é, portanto, 50 × 101 = 5050.
