O ponto de partida para a descrição matemática de uma lei da natureza é a definição de um sistema de referencial e de coordenadas. Na mecânica os referenciais inerciais são particularmente importantes pois neles as equações do movimento tomam sua forma mais simples. Referenciais inerciais são aqueles em que os observadores não estão sujeitos à ação de forças externas e, portanto, estão em repouso ou se deslocam em movimento retilíneo uniforme.

Estabeleceremos um sistema de coordenadas em um destes referenciais marcando cada “ponto”, que chamaremos de evento, com os números \((t, \hspace{0.25em} x, \hspace{0.25em} y, \hspace{0.25em} z)\) descrevendo quando e onde o evento ocorreu.

Suponha que um observador no referencial \(S\) associa a um evento as coordenadas \((t, \hspace{0.25em} x, \hspace{0.25em} y, \hspace{0.25em} z)\) enquanto outro, no referencial \(S \acute{}\) associa a um evento as coordenadas \((t^{\prime}, \hspace{0.25em} x^{\prime}, \hspace{0.25em} y^{\prime}, \hspace{0.25em} z^{\prime})\). Se o referencial \(S \acute{}\) se move em relação a \(S\) com velocidade \(v\) constante, por exemplo na direção do eixo \(x\), então os dois sistemas de coordenadas se relacionam da seguinte forma:

$$
\left\{ \begin{array}{cl}
t^{\prime} = & t\\
x^{\prime} = & x – vt\\
y^{\prime} = & y\\
z^{\prime} = & z.
\end{array} \right.
$$

No caso mais geral do referencial \(S^{\prime}\) com velocidade \(v = \left( v_x, \hspace{0.25em} v_y, \hspace{0.25em} v_z \right)\) em relação a \(S\) a regra de transformação de coordenadas e sua inversa são dadas respectivamente por
$$
\left\{ \begin{array}{cl}
t^{\prime} = & t\\
x^{\prime} = & x – v_x t\\
y^{\prime} = & y – v_y t\\
z^{\prime} = & z – v_z t.
\end{array} \right. \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \text{ e } \hspace{0.75em} \left\{
\begin{array}{cl}
t = & t^{\prime}\\
x = & x^{\prime} + v_x t\\
y = & y^{\prime} + v_y t\\
z = & z^{\prime} + v_z t.
\end{array} \right.
$$

Espaço-tempo clássico

Uma nota sobre o espaço onde a mecânica clássica atua pode ser interessante como uma preparação para o estudo da relatividade. Suponhamos que dois eventos \(P\) e \(P^{\prime}\) ocorrem respectivamente sob as coordenadas
$$
P = (t,\;x,\;y,\;z)\hspace{2.0em} \text{e}\hspace{2.0em} P^{\prime} = (t^{\prime},\;x^{\prime}, \;y^{\prime}, \;z^{\prime}).
$$

Podemos calcular as distâncias
$$
\begin{array}{cl}
\Delta t = & t^{\prime} – t\\
& \\
\Delta s = & \sqrt{\left( x^{\prime} – x \right)^2 + \left( y^{\prime} –
y \right)^2 + \left( z^{\prime} – z \right)^2}
\end{array}
$$

que são as mesmas para qualquer observador que as observe. Na mecânica de Newton tempo é universal e independe do movimento do observador. O afastamento espacial entre os eventos, \(\Delta s\), é um objeto geométrico, invariante para qualquer sistema de coordenada que possamos usar. Dizemos que esta distância é invariante sob reparametrizações do espaço. Podemos escrever sob forma matricial
$$
\Delta s^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 = \left( \Delta x
\hspace{0.75em} \Delta y \hspace{0.75em} \Delta z \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\Delta x\\
\Delta y\\
\Delta z
\end{array} \right)
$$

ou, alternativamente \(\Delta s^2 = \sum_{i, j} \Delta x^i \Delta x^j \delta_{ij} = \Delta x^i \Delta x^j \delta_{ij}\), onde \(\delta_{ij}\) são os componentes da métrica de Euclides,
$$
\delta_{ij} = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right) \hspace{4pt}\text{ ou } \hspace{4pt} \delta_{ij} = \left\{
\begin{array}{cl}
1 & \hspace{4pt}\text{ se } \hspace{4pt} i = j\\
0 & \hspace{4pt}\text{ se } \hspace{4pt} i \neq j
\end{array} \right.
$$

e a convenção de Einstein foi usada para indicar a soma sobre as quantidades com índices repetidos. Isto mostra que o espaço onde ocorrem os fenômenos clássicos é o produto cartesiano de \(I \hspace{-4pt} R^3\), um espaço euclidiano de três dimensões mais uma dimensão temporal.

Uma revisão adicional pode tornar mais fácil o estudo a seguir. Sendo \(I \hspace{-4pt} R^3\) um espaço vetorial escolhemos nele a base ortonormal canônica
$$
\left\{ \mathbf{\hat{e}}_i \right\} = \left\{ \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k} \right\}.
$$

Qualquer vetor de \(I \hspace{-4pt} R^3\) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base
$$
\vec{v} = \sum^3_{i = 1} v^i \mathbf{\hat{e}}_i = v^i \mathbf{\hat{e}}_i.
$$

Neste espaço definimos o produto interno ou produto escalar, uma aplicação bilinear, simétrica e positiva definida, com o seguinte efeito sobre os vetores da base ortonormal,
$$
\left\langle \mathbf{\hat{e}}_i, \mathbf{\hat{e}}_j \right\rangle = \delta_{ij}.
$$

Então, se \(\vec{u} = u^i \mathbf{\hat{e}}_i\) é outro vetor temos
$$
\left\langle \vec{u}, \vec{v} \right\rangle = \left\langle u^i
\mathbf{\hat{e}}_i, v^j \mathbf{\hat{e}}_j \right\rangle = u^i v^j
\left\langle \mathbf{\hat{e}}_i, \mathbf{\hat{e}}_j \right\rangle = u^i v^j
\delta_{ij},
$$

que é o produto escalar usual \(\left\langle \vec{u}, \vec{v} \right\rangle = u^1 v^1 + u^2 v^2 + u^3 v^3\). A norma ou comprimento de um vetor é
$$
\left| \vec{u} \right| = \sqrt{\left\langle \vec{u}, \vec{u} \right\rangle}
= \sqrt{\left( u^1 \right)^2 + \left( u^2 \right)^2 + \left( u^3 \right)^2}.
$$

As equações do movimento

Vamos denotar por \(\vec{r} = \left( x, y, z \right)\) o vetor posição de um ponto em \(I \hspace{-4pt} R^3\). Uma trajetória neste espaço, percorrida por uma partícula, pode ser representada por uma curva parametrizada sob a forma
$$
\vec{r} \left( t \right) = \left( x \left( t \right), y \left( t \right), z \left( t \right) \right),
$$

sendo que o parâmetro \(t\) é o tempo. Sua velocidade é definida como a variação instantânea da posição com o tempo, ou seja
$$
\vec{v} (t) = \frac{d}{dt} \vec{r} \left( t \right) = \left( \dot{x}
\left( t \right), \dot{y} \left( t \right), \dot{z} \left( t \right) \right)
$$

onde a notação \(\mathbf{\dot{x}}\) foi introduzida para indicar a derivada com relação ao tempo. A aceleração de uma partícula é a derivada segunda
$$
\vec{a} (t) = \frac{d^2}{dt^2} \vec{r} \left( t \right) = \left( \ddot{x}
\left( t \right), \ddot{y} \left( t \right), \ddot{z} \left( t \right) \right).
$$

A equação de Newton uma equação diferencial
$$
\vec{F} = m \vec{a} (t),
$$

cuja solução é a trajetória da partícula.

Exemplo: Na teoria de Newton as trajetórias de partículas livres, i.e., não submetidas a nenhuma força, são retas de \(I \hspace{-4pt} R^3\). Temos
$$
\vec{F} = 0 \Rightarrow \vec{a} = 0,
$$

o que representa três equações diferenciais
$$
\ddot{x} \left( t \right) = 0, \hspace{0.75em} \ddot{y} \left( t \right) = 0, \hspace{0.75em} \ddot{z} \left( t \right) = 0,
$$

com soluções
$$
x \left( t \right) = at + b, \hspace{0.75em} y \left( t \right) = ct + d, \hspace{0.75em} z \left( t \right) = et + f,
$$

onde \(a, \hspace{0.3em} b, \hspace{0.3em}c, \hspace{0.3em}d, \hspace{0.3em}e, \hspace{0.3em}f \)
são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais. Observe que
$$
\vec{r} \left( 0 \right) = \vec{r}_0 = \left( b, \hspace{0.25em} d,
\hspace{0.25em} f \right) \hspace{0.8em} \text{e} \hspace{0.8em} \vec{v} \left( 0 \right) = \vec{v}_0 =
\left( a, \hspace{0.25em} c, \hspace{0.25em} e \right)
$$

são, respectivamente, a posição e a velocidade inicial da partícula.

Para calcular a distância percorrida podemos usar a fórmula do comprimento de arco \(s\), obtida da seguinte forma: para variações infinitesimais do parâmetro \(t\) o arco tem o comprimento infinitesimal
$$
ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 = \left[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(
\frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 \right] dt^2
$$

pois cada função coordenada é função de \(t\) apenas e \(dx = \left( dx / dt \right) dt\) , e análogos para \(y\) e \(z\). Para uma varição finita do parâmetro encontramos o comprimento de arco por meio da integral definida
$$
s = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2} dt,
$$

que é a distância total percorrida pela partícula.

A energia cinética de uma partícula é um escalar, definido como
$$
T = \frac{1}{2} mv^2
$$

onde \(v = \left| \vec{v} \right| = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2}\) , enquanto o momento linear de uma partícula é o vetor
$$
\vec{p} = m \vec{v} \mathbf{=} m \left( \dot{x}, \dot{y}, \dot{z} \right) .
$$

Podemos portanto escrever a equação de movimento de Newton como
$$
\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt},
$$

válida mesmo que a massa não seja uma constante. Para uma partícula de massa constante temos uma relação entre a energia cinética e o
momento que será útil futuramente. Lembrando que \(v^2 =\) \(\vec{v} \mathbf{.} \vec{v} \mathbf{}\) temos que a taxa de variação de \(T\) com o tempo é

$$
\frac{dT}{dt} = \frac{1}{2} m \frac{d}{dt} \left( \vec{v} \mathbf{.}
\vec{v} \right) = m \vec{v} \mathbf{.} \frac{d \vec{v}}{dt} = \vec{v} .
\vec{F} . \label{energiacinetica}
$$
Para um sistema de \(N\) partículas temos que a energia cinética e o momento são as somas
$$
T = \sum_{i = 1}^N \frac{1}{2} m_i v_i^2, \vec{p} = \sum_{i = 1}^N m_i
\vec{v}_i .
$$

Estas definições de energia e momento são motivadas pelo fato experimental de que a soma das energias, cinética e potencial, e o momento são quantidades que se conservam durante a trajetória de uma partícula ou de um sistema de partículas.

Exercícios

• Faça um esboço da trajetória em \(I \hspace{-4pt} R^2\) descrita em forma paramétrica por
  $$
  \mathbf{x} \left( t \right) = \left( R \cos \omega t, R \textit{sen} \omega t \right)
  $$
  Mostre que a aceleração, neste caso, é sempre perpendicular á velocidade.
• Faça um esboço da trajetória em \(I \hspace{-4pt} R^3\) descrita em forma paramétrica por
  $$
  \mathbf{x} \left( t \right) = \left( \cos \omega t, \textit{sen} \omega t,
  t \right) .
  $$
• Encontre o comprimento da trajetória acima de \(t = 0\) até \(t = 1\).

Consequências da invariância da velocidade da luz