Arcos e contornos

Um arco contínuo é o conjunto parametrizado
$$
C=\left\{ z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left( t\right) ;\;a\leq t\leq b\right\} ,
$$
onde \(z\left( t\right)\) é contínua. Observamos que \(z\left(t\right)\) é contínua se, e somente se, \(x(t)\), e \(y(t)\) são contínuas. O mesmo arco, com orientação oposta é denotado por \(-C\) e pode ser parametrizado por
$$
z_{1}\left( t\right) =z\left( -t\right) ,\;-b\leq t\leq -a.
$$

Um arco simples ou arco de Jordan é um arco sem auto-interseções. Uma curva fechada é aquela que satisfaz \(z\left( t_{1}\right) =z\left( t_{2}\right)\), com \(t_1 \neq t_2\). Na figura 2 as curvas são: (a) simples, (b) não simples, com interseção, (c) fechada simples, também chamada curva de Jordan, (d) fechada, com auto-interseção.

Um arco \(C\), parametrizado por \(z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(t\right)\) é dito regular se a derivada \(z^{\prime }\left( t\right)=x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime }\left( t\right)\) existe, é contínua e \(z^{\prime }\left( t\right) \neq 0\), \(\forall t\) no intervalo de definição da curva. Isto garante que a curva possui tangente em qualquer um de seus pontos. O ângulo formado pela tangente com o eixo \(\mathcal{O}x\) é \(\arg \left( z^{\prime }\right)\).

Um contorno ou caminho é um arco regular por partes, ou seja, um arco composto por sub-arcos regulares, \(C=C_{1}\cup C_{2}\cup \ldots \cup \;C_{n}\).

Exercício Resolvido: Faça um esboço das curvas parametrizadas por
$$
\left.
\begin{array}{lll}
\text{(a)}\;\; z_{1}=1+it, & & \text{(b)}\;\; z_{2}=t+it, \\
\text{(c)}\;\; z_{3}=t^{2}+it, & & \text{(d)}\;\; z_{4}=t+it^{2},
\end{array}
\right\} \;\;\; \text{ todas no intervalo } 0 \leq t\leq 1.
$$

A curva (a) tem parte real constante \(x=1\) e imaginária \(y=t\). Ela é, portanto, o segmento de reta \(\left( 1,t\right)\) no plano complexo, com início em \(\left( 1,0\right)\) e fim em \(\left( 1,1\right)\). A curva (b) corresponde a \(x=t,\;y=t\) ou, em outra representação, o segmento de reta \(y=x\). A curva (c) é o arco de parábola \(x=y^{2}\) enquanto a curva (d) é o arco de parábola \(y=x^{2}\), como representado na figura 3(a).

Exercício Resolvido: Identifique e faça um esboço da curva parametrizada por \(z\left( t\right) =re^{i\theta };\;0\leq\theta \leq 2\pi\).

Esta curva pode ser escrita como \(z\left( \theta \right) =r\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right)\) e portanto tem partes real e imaginária
$$
x=r\cos \theta ,\ \ y=r\text{sen }\theta .
$$
Observe que \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\) para qualquer valor de \(\theta\). Quando o parâmetro varia de \(0\) até \(2\pi\) a curva realiza uma volta completa sobre a circunferência de centro na origem e raio \(r\). Esta é uma curva de Jordan, representada na figura 3(b).

Teorema de Jordan: Toda curva \(C\) fechada simples divide o plano em duas regiões, sendo \(C\) sua fronteira comum. O interior \(R\) é uma região limitada, simplesmente conexa, ou seja, qualquer curva fechada simples em seu interior pode ser deformada continuamente sem sair de \(R\).

Como exemplo, o domínio da função \(f\left( z\right) =\ln z\) é
$$
D\left[ \ln \left( z\right) \right] =\mathbb{C}-\left\{ 0\right\} =\left\{ z\in \mathbb{C};\ z\neq 0\right\}
$$

e é uma região perfurada, conexa mas não simplesmente conexa, a que chamaremos região multiplamente conexa.

Exercícios:

Identifique as curvas dadas abaixo:

1. \(z=3t+it^{2}, -\infty \lt t \lt \infty\),

2. \(z=3t^{2}+5it, -\infty \lt t \lt \infty\),

3. \(z=r\left( \cos t+i\text{sen }t\right),\; -\pi /4\lt t \lt \pi ,\; r\gt 0\),

4. \(z=1/t+it, 1\lt t \lt \infty\),

5. \(z=t+2i/t, -\infty \lt t \lt 0\),

6. \(z=t+i\sqrt{1-t^{2}}, -1\lt t \lt 1\),

7. \(\left\vert z-2i\right\vert =2\).

8. Qual é a equação da reta em \(\mathbb{C}\) que liga os pontos \(0\) até \(1+i\,\)?

9. Qual é a equação da reta que liga os pontos \(1+i\) até \(0\)?

10. Qual é a equação da reta que liga os pontos \(z_{1}=1+2i\) a \(z_{2}=2+5i\)?

11. Qual é a equação da circunferência com centro em \(z_0=i\) e raio \(r=1\)?

Integrais de funções complexas

Seja \(F\left( t\right) =U\left( t\right) +iV\left( t\right)\) uma função contínua no intervalo \(\left[ a,b\right]\). Sua integral é definida por
$$
\int_{a}^{b}F\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}U\left( t\right)dt+i\int_{a}^{b}V\left( t\right) dt.
$$
Seguem da definição as seguintes propriedades: suas partes real e imaginária são, respectivamente

$$
\text{Re}\int_{a}^{b}F\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}U\left( t\right)dt=\int_{a}^{b}\text{Re}\left[ F\left( t\right) \right] dt,
$$

$$
\text{Im}\int_{a}^{b}F\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}V\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}\text{Im}\left[ F\left( t\right) \right] dt.
$$
A integral é linear,
$$
\int_{a}^{b}\left[ F\left( t\right) +G\left( t\right) \right]\,dt=\int_{a}^{b}F\left( t\right) dt+\int_{a}^{b}G\left( t\right) dt,
$$
$$
\int_{a}^{b}\alpha F\left( t\right) \,dt=\alpha \int_{a}^{b}F\left( t\right)
dt.
$$
Além disto, uma propriedade que será bastante útil é a chamada desigualdade triangular,

$$
\left\vert \int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt\right\vert \leq \int_{a}^{b}\left\vert F\left( t\right) \right\vert \,dt.
$$

Exercício Resolvido: Demonstre a desigualdade triangular, propriedade (3).

Observamos primeiro que \(\int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt\) é um número complexo e o escrevemos em sua forma polar
$$
\int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt=re^{i\theta },\;\;\text{ onde }r=\left\vert \int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt\right\vert .
$$
Multiplicamos os dois lados da última equação por \(e^{-i\theta }\) para obter
$$
r=e^{-i\theta }\int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt=\int_{a}^{b}e^{-i\theta} F\left( t\right) \,dt.
$$
Como \(r\) é real, \(r=\text{Re}\left\{ r\right\}\) ou seja
$$
r=\text{Re}\int_{a}^{b}e^{-i\theta }F\left( t\right) \,dt=\int_{a}^{b}\text{Re}\left[ e^{-i\theta }F\left( t\right) \right] \,dt,
$$
onde se aplicou a propriedade (3). Considerando que, para qualquer complexo, vale a relação \(\text{Re}\left\{ z\right\} \leq \left\vert z\right\vert\) então o integrando é \(\text{Re}\left[ e^{-i\theta}F\left( t\right) \right] \leq \left\vert e^{-i\theta }F\left( t\right) \right\vert =\left\vert F\left( t\right) \right\vert\) para todo \(t\), lembrando que a última igualdade vale porque \(e^{-i\theta }\) é um complexo com valor absoluto igual a um. Concluimos que
$$
\left\vert \int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt\right\vert =r\leq \int_{a}^{b}\left\vert F\left( t\right) \,\right\vert \,dt.
$$
Fica assim mostrada a propriedade.

A integral de contorno

Definimos a integral de contorno, ou integral curvilínea, \(\int_{C}f\left( z\right) \,dz\) onde \(C\) é um caminho qualquer e \(f=u+iv\) é uma função contínua em \(a\leq t\leq b\) como
$$
\int_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{a}^{b}f\left( z\left( t\right) \right)z^{\prime }\left( t\right) dt.
$$
Observe que \(f\left( z\right)\) pode ser definida para qualquer ponto do plano complexo mas, na avaliação da integral, somente são considerados seus valores sobre a curva \(C\). Estas integrais são avaliadas da seguinte forma: descrevemos o caminho \(C\) por meio de alguma parametrização \(z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(t\right)\), encontramos a diferencial,
$$
dz=\left[ x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime }\left( t\right) \right] dt
$$
e os valores da função sobre este caminho transformando a integral de caminho em uma integral definida complexa, definida na seção anterior que, por sua vez, se reduz a duas integrais definidas ordinárias. Se \(f=u+iv\) então
$$
\int_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{a}^{b}\left( u+iv\right) \left(
x^{\prime }+iy^{\prime }\right) dt=\int_{a}^{b}\left[ \left( ux^{\prime
}-vy^{\prime }\right) +i\left( u\,y^{\prime }+vx^{\prime }\right) \right] dt.
$$
Lembramos que o contorno deve ser composto por um número finito de arcos regulares, onde \(z^{\prime }\neq 0\).

Exemplo 1: Calcule a integral de contorno
$$
I=\int\limits_{C}f\left( z\right) dz \;\; \text{ onde } \;\; f\left( z\right)=2x-y+ix^{2},
$$
e \(C\) é o segmento de reta ligando os pontos \(0\) a \(1+i\). O primeiro passo é parametrizar este segmento. Ele pode ser descrito como
$$
C: z=\left( 1+i\right) t,\; \; 0\leq t\leq 1.
$$
Sobre este segmento \(x=t\) e \(y=t\) e, portanto \(f\left( z\right)=2t-t+it^{2},\) enquanto \(dz=z^{\prime }dt=\left( 1+i\right) dt\). A integral é
$$
I=\left( 1+i\right) \int_{0}^{1}\left( t+it^{2}\right) dt=\left( 1+i\right)\left. \left( \frac{t^{2}}{2}+i\frac{t^{3}}{3}\right) \right\vert _{0}^{1}
=\frac{1}{6}\left( 1+5i\right).
$$

Exemplo 2: Vamos calcular a integral de contorno
$$
I=\int\limits_{C}f\left( z\right) dz \text{ onde }f\left( z\right)=\left\vert z\right\vert
\;\;\;\;\text{ e }\;\;\;\; C=\left\{ z=re^{i\theta }, 0\leq \theta \leq \pi ,\; r\; \text{ constante }\right\}.
$$
Note que \(C\) é o arco da circunferência de raio \(r\) no primeiro e segundo quadrantes. Sobre \(C\), \(f\left( z\right) =\left\vert z\right\vert =r\). Como \(r\) é constante é conveniente parametrizar o caminho usando a variável \(\theta\), fazendo
$$
z\left( \theta \right) =r\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right) ,\; \; 0\leq \theta \leq \pi,
$$
enquanto a diferencial é
$$
dz=z^{\prime }d\theta =r\left( -\text{sen }\theta +i\cos \theta \right) d\theta.
$$
Juntando os termos a integral procurada é
$$
I=\int_{0}^{\pi }r^{2}\left( -\text{sen }\theta +i\cos \theta \right) d\theta=r^{2}\left[ \left. \cos \theta \right\vert _{0}^{\pi }+i\left. \text{sen }
\theta \right\vert _{0}^{\pi }\right] =-2r^{2}.
$$
Observe que, se o caminho fosse fechado, \(z=re^{i\theta },\; 0\leq \theta \leq 2\pi\), a integral seria nula pois
$$
I=\int_{0}^{2\pi }r\left( ire^{i\theta }\right) d\theta =ir^{2}\int_{0}^{2\pi }e^{i\theta }d\theta =0.
$$
Para calcular a integral neste segundo caso usamos a parametrização \(z=re^{i\theta }\), \(0\leq \theta \leq 2\pi\), com a respectiva diferencial \(dz=ire^{i\theta }d\theta\).

Propriedades da integral de contorno

As seguintes propriedades valem para a integral de contorno:

i) A integral de contorno é linear:
$$
\int_{C}\left[ f\left( z\right) \,+g\left( z\right) \right]
\,dz=\int_{C}f\left( z\right) \,dz+\int_{C}g\left( z\right) \,dz
$$
$$
\int_{C}\alpha f\left( z\right) \,dz=\alpha \int_{C}f\left( z\right) \,dz,
$$
onde \(\alpha\) é uma constante complexa.

ii) Se \(C\) é a união de caminhos disjuntos, \(C=C_{1}\cup C_{2}\cup \ldots \cup C_{r}\) então
$$
\int_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{C_{1}}f\left( z\right) \,dz+\int_{C_{2}}f\left( z\right) \,dz+\ldots +\int_{C_{r}}f\left( z\right) \,dz.
$$
Segue daí que a integral ao longo de um caminho fechado não depende do ponto inicial onde se inicia o caminho. Dizemos que ela é invariante
por translações do parâmetro.

iii) A integral muda de sinal se percorremos o caminho em sentido oposto:
$$
\int_{-C}f\left( z\right) \,dz=-\int_{C}f\left( z\right) \,dz.
$$
Para mostrar esta afirmação fazemos
$$
-C=\left\{ z_{1}\left( t\right) =z\left( -t\right) ;\;-b\leq t\leq -a\right\}
$$
e, portanto,
$$
I=\int_{-C}f\left( z\right) \,dz=\int_{-b}^{-a}f\left( z_{1}\left( t\right) \right) z_{1}^{\prime }\left( t\right) dt.
$$
Como \(z_{1}\left( t\right) =z\left( -t\right)\) temos que
$$
I=\int_{-b}^{-a}f\left( z\left( -t\right) \right) \frac{dz\left( -t\right) }{dt}dt.
$$
Fazendo a mudança de variáveis \(\tau =-t\) temos
$$
dt=-d\tau \;\;\; \text{ e }\;\;\; \frac{d}{dt}=\frac{d}{d\tau }\frac{d\tau }{dt}=-\frac{d}{d\tau }
$$
e a integral pode ser escrita como
$$
I=\int_{b}^{a}f\left( z\left( \tau \right) \right) \,\frac{dz\left( \tau
\right) }{d\tau }\,d\tau =-\int_{a}^{b}f\left( z\left( \tau \right) \right)
dz=-\int_{C}f\left( z\right) \,dz.
$$
iv) Vale a desigualdade
$$
\left\vert \int_{C}f\left( z\right) \,dz\right\vert \leq \int_{C}\left\vert
f\left( z\right) \right\vert \,\left\vert dz\right\vert ,
$$
que é decorrente da propriedade semelhante válida para \(\int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt\), propriedade (3).

v) Se \(f\) é uma função contínua sobre o arco \(C\) então existe uma constante \(M\) positiva tal que \(\left\vert f\left( z\right) \right\vert \leq M,\;\forall z\in C\). Daí, e da propriedade anterior,
$$
\left\vert \int_{C}f\left( z\right) \,dz\right\vert \leq \int_{C}\left\vert
f\left( z\right) \right\vert \,\left\vert dz\right\vert \leq
M\int_{C}\left\vert dz\right\vert =ML,
$$
onde \(L\) é o comprimento do arco \(C\). A última igualdade pode ser justificada da seguinte forma: se \(z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left( t\right)\) então \(dz=dx+idy\) e
$$
\int_{C}\left\vert dz\right\vert =\int_{a}^{b}\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}
=\int_{a}^{b}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt}\right) ^{2}+\left( \frac{dy}{dt}
\right) ^{2}}dt=L.
$$

vi) A integral \(\int_{C}f\left( z\right) \,dz\) não depende da escolha de uma parametrização para \(C\).

Representando o caminho \(C\) por meio da parametrização \(z\left(t\right)\), \(t_{1}\leq t\leq t_{2}\) então calculamos
$$
I=\int_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{t_{1}}^{t_{2}}f\left( z\left( t\right)\right) z^{\prime }\left( t\right) dt.
$$
Podemos também usar outra parametrização dada por \(z_{1}\left(\tau \right) =z\left( t\left( \tau \right) \right)\), \(\tau _{1}\leq \tau
\leq \tau _{2}\) onde \(t\left( \tau \right)\) é uma função crescente e monótona, \(t_{1}=t\left( \tau _{1}\right) ,\;t_{2}=t\left(
\tau _{2}\right)\). Neste caso
$$
I=\int_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}f\left(
z_{1}\left( \tau \right) \right) z^{\prime }\left( \tau \right) d\tau .
$$
Mas
$$
\frac{d\left( z_{1}\left( \tau \right) \right) }{d\tau }=\frac{d\left(
z\right) }{dt}\frac{dt}{d\tau }
$$
portanto
$$
I=\int_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}f\left( z_{1}\left( \tau \right) \right) \frac{
d\left( z_{1}\left( \tau \right) \right) }{d\tau }d\tau =\int_{\tau
_{1}}^{\tau _{2}}f\left( z\left( t\left( \tau \right) \right) \right) \frac{
dz}{dt}\frac{dt}{d\tau }d\tau =\int_{t_{1}}^{t_{2}}f\left( z\left( t\right)
\right) \frac{dz}{dt}dt.
$$

Qualquer parametrização encontrada para a curva \(C\) pode ser usada na avaliação da integral, desde que o sentido seja preservado. Dizemos que a integral é invariante sob reparametrizações do caminho \(C\).

Exercício Resolvido: Calcule \(I=\int_{C}f\left(z\right) \,dz\) onde \(f\left( z\right) =z\) e \(C\) é um caminho qualquer ligando \(z_{1}\) a \(z_{2}\).

Vamos representar o caminho \(C\) por
$$
C=\left\{ z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left( t\right) ;\;a\leq
t\leq b\right\} ,\;z\left( a\right) =z_{1},\;z\left( b\right) =z_{2}.
$$
Então \(dz=dx+idy=\left( x^{\prime }+iy^{\prime }\right) dt\) e a integral procurada é
$$
I=\int_{a}^{b}z\left( t\right) z^{\prime }\left( t\right)
\,dt=\int_{a}^{b}\left( x+iy\right) \left( x^{\prime }+iy^{\prime }\right)
dt=
$$
$$
=\int_{a}^{b}\left( x+iy\right) \left( x^{\prime }+iy^{\prime }\right)
dt=\int_{a}^{b}\left[ \left( xx^{\prime }-yy^{\prime }\right) +i\left(
xy^{\prime }+yx^{\prime }\right) \right] dt.
$$
Observamos agora que o integrando é uma diferencial exata:
$$
\frac{d}{dt}\left( x^{2}-y^{2}+2ixy\right) =2\left[ \left( xx^{\prime
}-yy^{\prime }\right) +i\left( xy^{\prime }+yx^{\prime }\right) \right] ,
$$
portanto
$$
I=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}\left( x^{2}-y^{2}+2ixy\right) dt=\frac{
1}{2}\left. \left( x^{2}-y^{2}+2ixy\right) \right\vert _{a}^{b}=
$$
$$
\frac{1}{2}\left. z^{2}\right\vert _{a}^{b}=\frac{1}{2}\left[ z^{2}\left(
b\right) -z^{2}\left( a\right) \right] =\frac{1}{2}\left[ z_{2}^{2}-z_{1}^{2}
\right] .
$$
Aproveitamos este exercício para indicar um resultado importante, que será estudado na próxima seção. Se o caminho \(C\) é fechado então \(z\left( a\right) =z\left( b\right)\) e esta integral, sobre o caminho fechado, é nula:
$$
\int_{C}z\,dz\equiv \oint z\,dz=0.
$$
O sinal \(\oint\) indica integração sobre um caminho fechado. Como veremos este resultado não é uma coincidência, mas faz parte de um resultado mais geral que será expresso pelo teorema de Cauchy, descrito na próxima seção.

Exercícios :

1. Dados os pontos \(a=\left( 1,~0\right)\), \(b=\left( 0,~m\right), c=\left( 1,~m\right)\), calcule \(\int\limits_{C}f\left( z\right) dz\) onde \(f\left( z\right) =\bar{z}\) e \(C\) é o caminho que liga a origem ao ponto \(c\) ao longos de três percursos: \(\mathcal{O}c,\; \mathcal{O}ac \;\) e \(\mathcal{O}bc\).

2. Calcule \(\int\limits_{C}f\left( z\right)dz\) onde:

a. \( f\left( z\right) =\left\vert z\right\vert ; C=\left \{ z=re^{i\theta},\; \pi /2\leq \theta \leq \pi \right\}\)

b. \(f\left( z\right) =z^{2};\; C=\left\{ z=re^{i\theta },\; 0\leq \theta \leq \pi \right\}\)

c. \(f\left( z\right) =z^{2}; C=\left\{ z=re^{i\theta },\ -\pi \leq \theta \leq \pi \right\}\)

d. \(f\left( z\right) =\sqrt{z}; C=\left\{ z=re^{i\theta },\ 0\leq \theta \leq 2\pi \right\}\)

e. \(f\left( z\right) =\sqrt{z}; C=\left\{ z=re^{i\theta },\ -\pi \leq \theta \leq \pi \right\}\)

f. \(f\left( z\right) =\left\vert z\right\vert\), ao longo do segmento de reta de zero até \(-2+3i\).

g. \(f\left( z\right) =x^{2}-y^{2}+i\left( x-y^{2}\right)\), ao longo do segmento de reta de zero até \(3+2i\).

h. \(f\left( z\right) =y-x^{2}\), ao longo dos caminhos \(\mathcal{O}ac\) e \(\mathcal{O}bc\), onde \(\mathcal{O=}\left( 0, 0\right) , a=\left(2, 0\right) , b=\left( 0, 1\right)\) e \(c=\left( 2, 1\right)\).

3. Se \(C\) é um caminho qualquer ligando os pontos \(z_{1}\) a \(z_{2}\) mostre que \(\int_{C}dz= z_{2}-z_{1}\).

Algumas soluções:

1) \(\int_{\mathcal{O}c}=\frac{1+m^{2}}{2},\; \int_{\mathcal{O}ac}=\frac{1}{2}\left( 1+m^{2}+im\right) ,\; \int_{\mathcal{O}bc}=\frac{1}{2} \left(
1+m^{2}-2im\right)\). As integrais podem ser calculadas da seguinte forma: Representamos graficamente os três caminhos na figura 4 e buscamos uma parametrização para cada um deles.

O caminho direto \(\mathcal{O}c\) é a reta \(\left\{ z\left( t\right) =\left(1+im\right) t,\ 0\leq t\leq 1\right\}\). Sua diferencial é \( dz=z^{\prime }dt=\left( 1+im\right) dt\), enquanto o integrando é \(\bar{z}=\left( 1-im\right) t\). A integral pode ser avaliada como
$$
I_{1}=\int_{\mathcal{O}c}\bar{z}dz=\int_{0}^{1}\left(1-im\right) t\left(1+im\right) dt=\left( 1+m^{2}\right) \int_{0}^{1}tdt=\frac{1+m^{2}}{2}.
$$

ii) O caminho \(\mathcal{O}ac\) é a união de dois arcos simples,
$$
\mathcal{O}ac=\left\{ z\left( t\right) =t,\ 0\leq t\leq 1\right\} \cup \left\{ z\left( t\right) =1+imt,\ 0\leq t\leq 1\right\}.
$$
As diferenciais são, respectivamente, \(dz=dt\) e \(dz=imdt\) sobre cada parte do caminho. A integral pode ser partida em dois pedaços, \(\int_{\mathcal{O}ac}=\int_{\mathcal{O}a}+\int_{ac}\), ou seja
$$
I_{2}=\int_{0}^{1}tdt+\int_{0}^{1}\left( 1-imt\right) imdt=\int_{0}^{1}tdt+im\int_{0}^{1}dt+m^{2}\int_{0}^{1}tdt=\frac{1}{2}\left(1+m^{2}+2im\right).
$$

iii) O caminho \(\mathcal{O}bc\) é a união dos arcos
$$
\mathcal{O}bc=\left\{ z\left( t\right) =imt,\ 0\leq t\leq 1\right\} \cup \left\{ z\left( t\right) =t+im,\ 0\leq t\leq 1\right\}.
$$
As diferenciais são \(dz=imdt\) e \(dz=dt\) sobre cada parte do caminho e a integral pode ser avaliada como
$$
I_{3}=\int_{\mathcal{O}bc}=\int_{0}^{1}\left( -imt\right)imdt+\int_{0}^{1}\left( t-im\right)dt =
$$
$$
=m^{2}\int_{0}^{1}tdt+\int_{0}^{1}tdt-im\int_{0}^{1}tdt=\frac{1}{2}\left(1+m^{2}-2im\right).
$$

Observamos que o valor da integral é diferente para cada caminho tomado, neste caso.
$$
\begin{array}{rll}
\text{2a. }\; \left(i-1\right) r^{2}\;\; & \text{b. }\; -2r^{3}/3 \;\; & \text{c. }\; \text{zero} \\
\text{d. }\; -4r\sqrt{r}/3 \;\; & \text{e. }\; 4r\sqrt{r}/3i \;\; & \text{f. }\; \sqrt{13}\left(3i-2\right) /2
\end{array}
$$

Teorema de Cauchy

O seguinte teorema foi originalmente foi apresentada por Cauchy no início da década de 1800, afirmando que a integral de uma função analítica, realizada sobre um contorno fechado, é sempre nula.

Antes de enunciar o teorema de Cauchy vamos definir o sentido orientação de um contorno e fazer uma breve revisão sobre o teorema de Green.

Definição. Dizemos que o contorno fechado \(C\) é positivamente orientado se um observador com trajetória sobre \(C\) deixa sempre a região interior envolvida por \(C\) à sua esquerda.

Teorema de Green¹: Sejam \(P\left( x,y\right)\) e \(Q\left( x,y\right)\) duas funções definidas em uma região \(R\) simplesmente conexa, com derivadas primeiras contínuas. Então, para qualquer contorno fechado simples \(C\) contido em \(R\), vale

$$
\iint_{R^{\prime }}\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy=\oint_{C}Pdx+Qdy,
$$
onde \(R^{\prime }\) é a região interior a \(C\). Uma notação útil pode ser utilizada escrevendo-se \(\vec{t}=\left(t_{x},\,t_{y}\right)\), para um vetor tangente ao contorno \(C\), e \(\vec{n} =\left( n_{x},\,n_{y}\right)\) um vetor unitário normal à \(C\). Então
$$
\left( dx,\,dy\right) =\vec{t}ds,\;\left( dy,\;-dx\right) =\vec{n}ds.
$$

Definindo um vetor \(F=\left( Q,\,-P\right)\) podemos escrever a equação (4) como
$$
\iint_{R^{\prime }}\text{div}\vec{F}\,dxdy=\oint_{C}\vec{F}\cdot \vec{n}\,ds.
$$

Teorema de Cauchy: Seja \(f\) uma função analítica em uma região simplesmente conexa \(R\). Então
$$
\oint_{C}f\left( z\right) \,dz=0,
$$
onde \(C\) é qualquer caminho fechado em \(R\). Equivalentemente, a integral
$$
\int_{z_{1}}^{z_{2}}f\left( z\right) \,dz
$$
não depende da escolha do caminho tomado mas apenas dos pontos extremos.

Demonstração: Fazemos \(f=u+iv\) e\(\;z=x+iy\). Então
$$
I=\oint_{C}f\left( z\right) \,dz=\oint_{C}\left( u+iv\right) \left(dx+idy\right) =
$$
$$
\oint_{C}\left( udx-vdy\right) +i\oint_{C}\left( udy+vdx\right).
$$
Usamos agora o teorema de Green, equação (4), para tansformar estas integrais em
$$
I=-\iint_{R^{\prime }}\left( \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right) dxdy+i\iint_{R^{\prime }}\left( \frac{\partial u}{
\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right) dxdy=0.
$$
Notamos que as integrais acima são nulas devido às condições de Cauchy-Riemann, \(u_{x}=v_{y}\) e \(v_{x}=-u_{y}\), válidas para funções analíticas. A equivalência dos enunciados pode ser mostrada das seguinte forma: construímos dois caminhos \(C_{1}\) e \(C_{2}\) ligando os pontos \(z_{1}\) e \(z_{2}\) e supomos que as integrais sobre os caminhos são iguais, \(\int_{C_1}=\int_{C_{2}}\). A integral avaliada sobre o caminho fechado \(C_{1}\cup \left(-C_{2}\right)\) é nula,
$$
\oint_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{C_{1}}f\left( z\right)\,dz-\int_{C_{2}}f\left( z\right) \,dz=0,
$$
já que a integração não depende do caminho escolhido. Por outro lado, se a integral fechada é nula concluímos que a integração não depende do caminho pois
$$
0=\oint_{C}=\int_{C_{1}}-\int_{C_{2}}\Rightarrow \int_{C_{1}}=\int_{C_{2}}.
$$

Integrais e primitivas

O teorema de Cauchy, também conhecido como teorema de Cauchy-Goursat, é o teorema fundamental da teoria das funções analíticas. Os principais resultados que ainda estudaremos são consequência direta deste teorema. Em particular veremos que funções analíticas possuem derivadas de todas as ordens e estas derivadas são contínuas. Nesta seção mostraremos que uma função analítica possue uma primitiva².

Teorema: Seja \(f\) uma função analítica em uma região \(R\) simplesmente conexa. Então a forma geral de sua primitiva é
$$
F\left( z\right) =\int_{z_0}^{z}f\left( w\right) dw+c,
$$
onde \(c\) é uma constante arbitrária, \(z_0\) é um ponto fixo qualquer de \(R\) e a integração é feita ao longo de um contorno inteiramente contido em \(R\). Além disto a função \(F\left( z\right)\) definida desta forma é analítica.

Demonstração: A função \(F\left( z\right)\) está bem definida uma vez que a integral não depende do caminho escolhido. Sua derivada, por definição, é
$$
F^{\prime }\left( z\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ F\left(z+h\right) -F\left( z\right) \right].
$$
Note que
$$
F\left( z+h\right) -F\left( z\right) =\left(
\int_{z_0}^{z+h}-\int_{z_0}^{z}\right) f\left( w\right)
dw=\int_{z}^{z+h}f\left( w\right) dw.
$$
Definindo uma função auxiliar \(\eta \left( z,w\right) =f\left(w\right) -f\left( z\right)\) podemos escrever
$$
F^{\prime }\left( z\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}
\left[ f\left( z\right) +\eta \left( z,w\right) \right] dw=f\left( z\right)
+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}\eta \left( z,w\right) dw.
$$
Na relação acima foi usado o seguinte fato:
$$
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}dw=1.
$$
Resta mostrar que o limite no segundo termo, é nulo. Para isto observe que, em módulo, vale
$$
\left\vert \frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}\eta \left( z,w\right) dw\right\vert \leq \frac{1}{\left\vert h\right\vert }\int_{z}^{z+h}\left\vert \eta \left(
z,w\right) \right\vert \left\vert dw\right\vert.
$$
Como \(f\left( z\right)\) é analítica, portanto contínua, dado \(\varepsilon \gt 0\;\) existe \(\;\delta \gt 0\;\) tal que
$$
\left\vert \eta \left( z,w\right) \right\vert =\left\vert f\left( w\right)-f\left( z\right) \right\vert \gt \varepsilon \;\text{ para }\;\left\vert
w-z\right\vert \gt \delta.
$$
Portanto
$$
\left\vert \frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}\eta \left( z,w\right) dw\right\vert \lt \frac{\varepsilon }{\left\vert h\right\vert }\int_{z}^{z+h}\left\vert
dw\right\vert =\varepsilon.
$$
No limite \(h \rightarrow 0\) temos que \(\varepsilon \rightarrow 0\) de onde concluímos, como pretendíamos, que \(F’=f\).

Corolário: Nas mesmas condições do teorema acima temos que
$$
\int_{z_0}^{z_{1}}f\left( z\right) dz=F\left( z_{1}\right) -F\left(z_0\right),
$$
onde \(F\left( z\right)\) é uma primitiva qualquer de \(f\).

Exemplo 3: A função abaixo é uma primitiva de \(z^n\)
$$
\frac{z^{n+1}}{n+1}
$$
para \(n\) inteiro não negativo. A seguinte integral pode ser diretamente avaliada:
$$
\int_{z_{1}}^{z_{2}}z^{n}dz=\frac{1}{n+1}\left. z^{n+1}\right\vert_{z_{1}}^{z_{2}}=\frac{1}{n+1}\left( z_{2}^{n+1}-z_{1}^{n+1}\right).
$$

Uma observação importante será útil na solução de diversos problemas que se apresentarão. Suponha que desejamos calcular a integral de caminho
$$
\oint_{C_{0}}f\left( z\right) \,dz,
$$
onde \(f\left(z\right)\) é analítica em uma região \(R\), exceto em regiões \(R_{1},\; R_{2}\; \text{ e } \; R_{3}\) contidas em \(R\), e \(C_{0}\) é um caminho que envolve as regiões \(R_{1},\; R_{2}\; \text{ e } \; R_{3}\) uma vez no sentido positivo, como representado na figura 5. Podemos construir caminhos arbitrários \(C_{1},\;C_{2}\;\; \text{ e } \;\; C_{3}\) envolvendo estas regiões e, com elas, um novo contorno
$$
C=C_{0}\cup T_{1}\cup -C_{1}\cup -T_{1}\cup T_{2}\cup -C_{2}\cup -T_{2}\cup T_{3}\cup -C_{3}\cup -T_{3},
$$
de forma que \(f\left( z\right)\) é analítica em \(C\) e na região circulada, sendo portanto \(\oint_{C}f\left( z\right) \,dz=0\). Notando que as integrais sobre os caminhos \(T_{i}\) e \(-T_{i} \;\; (i=1,2,3)\) se cancelam restam apenas os termos
$$
0=\oint_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{C_{0}}f\left( z\right)\,dz-\int_{C_{1}}f\left( z\right) \,dz-\int_{C_{2}}f\left( z\right)\,dz-\int_{C_{3}}f\left( z\right) \,dz,
$$
de onde se conclui que
$$
\int_{C_{0}}f\left( z\right) \,dz=\int_{C_{1}}f\left( z\right)
\,dz+\int_{C_{2}}f\left( z\right) \,dz+\int_{C_{3}}f\left( z\right) \,dz.
$$

Cabe notar que o mesmo procedimento pode ser usado para integrar sobre regiões onde existam um número finito arbitrário de regiões onde \(f\left( z\right)\) não é analítica.

Exemplo 4: Se \(C\) é um contorno qualquer envolvendo \(z_0\) uma vez, no sentido positivo, calcule
$$
I=\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-z_0}.
$$
Pela observação feita acima verificamos que a integral tem o mesmo resultado se for avaliada ao longo de outro caminho \(C^{\prime }\) qualquer em torno de \(z_0\). Escolheremos então um caminho que admita uma parametrização simples e facilite a solução do problema. Em particular podemos tomar \(C^{\prime }\) como a circunferência de centro em \(z_0\) e raio \(\delta\),
$$
C^{\prime }:\left\vert z-z_0\right\vert =\delta ,
$$

tomando o cuidado de que \(\delta\) seja suficientemente pequeno para que \(C^{\prime }\) esteja inteiramente contida na região interior à \(C\). Neste caso podemos escrever
$$
z-z_0=\delta e^{i\theta },\ 0\leq \theta \leq 2\pi ,
$$
$$
dz=i\delta e^{i\theta }d\theta .
$$
A integral se torna
$$
I=\int_{0}^{2\pi }\frac{i\delta e^{i\theta }d\theta }{\delta e^{i\theta }}
=i\int_{0}^{2\pi }d\theta =2\pi i.
$$
Podemos resumir os resultados acima da seguinte forma:
$$
\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-z_0}=\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \;\;\text{ se }\;\;C\text{ não envolve }\;z_0 \\
2\pi i,\; & \;\;\text{ se }\;\;C\text{ envolve }\;z_0\text{ uma vez no sentido positivo.}
\end{array}
\right.
$$

Um conceito útil que será estudado com mais detalhes mais tarde é o de singularidades. Se uma função \(f\left( z\right)\) é analítica em toda uma região \(R\subset \mathbb{C}\), exceto em pontos isolados \(z_{i}\) então dizemos que \(z_{i}\) são singularidades isoladas de \(f\). Como exemplos, as funções
$$
f\left( z\right) =\frac{1}{z^{2}+1}\;\; \text{ e } \;\; g\left( z\right) =\frac{z}{\text{sen }z}
$$
possuem singularidades isoladas, respectivamente, em \(z=\pm i\) e \(z=n\pi\;\; \left( n=0,~\pm 1,~\pm 2,\ldots \right)\).

Exercícios:

Verifique se são nulas as seguintes integrais \(\oint\nolimits_{C}f\left( z\right) dz\):

1. \(f\left( z\right) =\frac{z+1}{z-3}\), onde \(C\) é o círculo \(\left\vert z\right\vert =2\).

2. \(f\left( z\right) =\frac{3z^{2}}{z+2i}\), onde \(C\) é o círculo \(\left\vert z\right\vert =\frac{3}{2}\).

3. \(f\left( z\right) =\frac{3ze^{z}}{z^{2}+3}\), onde \(C\) é o círculo \(\left\vert z\right\vert =\frac{5}{4}\).

4. \(f\left( z\right) =\frac{\ln \left( z-2i\right) }{z+2}\), onde \(C\) é o quadrado de vértices \(\pm 1\pm i\).

5. \(f\left( z\right) =\frac{\ln \left( z+1\right) }{z^{2}-9}\), onde \(C\) é o círculo \(x^{2}+y^{2}-2x=0\).

6. \(f\left( z\right) =\frac{\ln \left( z+i\right) }{z^{2}-9}\), onde \(C\) é o círculo \(x^{2}+y^{2}+2x=0\).

7. \(f\left( z\right) =\frac{\ln \left( z-1+i\right) }{z^{2}+9}\), onde \(C\) é o quadrado de vértices \(\pm 1\pm i\).

8. \(f\left( z\right) =\frac{1}{z^{2}}\), onde \(C\) é qualquer caminho que envolve a origem uma vez, no sentido positivo.

9. Calcule a integral de \(f\left( z\right) =1/z\) sobre o caminho \(C\) de \(-i\) até \(i\) passando pelo semiplano \(\text{Re}\left( z\right) >0\).

10. Calcule a integral de \(f\left( z\right) =1/z\) sobre o caminho \(C\) de \(-i\) até \(i\) passando pelo semiplano \(\text{Re}(z) \lt 0\).

11. Combine os resultados dos exercícios (9) e (10) para obter\( \oint\nolimits_{C}\frac{dz}{z}\), onde \(C\) é qualquer caminho que envolve a origem uma vez no sentido positivo.

A fórmula da integral de Cauchy

Outro resultado importante devido a Cauchy é a fórmula da integral. Ela expressa o fato de que uma função analítica em uma região \(R\) fica completamente determinada por seus valores na fronteira de \(R\). Ela também pode ser usada para expressar sob formas integrais todas as derivadas de uma função holomorfa.

Teorema: Seja \(f\) uma função analítica em uma região simplesmente conexa \(R\). Se \(C\) é um contorno fechado inteiramente contido em \(R\) que envolve o ponto \(z_0\) uma vez no sentido positivo então

$$
\oint\limits_{C}\frac{f\left( z\right) }{z-z_0}dz=2\pi if\left(z_0\right).
$$

Demonstração: Iniciamos por reduzir a integração ao contorno
$$
C_{\delta }:\left\vert z-z_0\right\vert =\delta ,
$$
um círculo com centro em \(z_0\) e raio \(\delta\), com \(\delta\) suficientemente pequeno para que \(C_{\delta }\) esteja na região interior à \(C\). Como o integrando é analítico na região hachurada (figura 6) então
$$
\oint\limits_{C\cup -C_{\delta }}\frac{f\left( z\right) }{z-z_0} dz=0\Rightarrow \oint\limits_{C}\frac{f\left( z\right) }{z-z_0} dz=\oint\limits_{C_{\delta }}\frac{f\left( z\right) }{z-z_0}dz.
$$

Defina a função auxiliar
$$
g\left( z\right) =\left\{ \begin{array}{ll}
\frac{f\left( z\right) -f\left( z_0\right) }{z-z_0}, & \;\;\text{ se }\;\; z\neq z_0 \\
f\left( z_0\right) , & \;\;\text{ se }\;\;z=z_0,
\end{array}
\right.
$$
observando que \(g\left( z\right)\) é analítica em \(z_0\). Isto significa que
$$
\oint\limits_{C_{\delta }}g\left( z\right) dz=0=\oint\limits_{C_{\delta }}\frac{f\left( z\right) }{z-z_0}dz-\oint\limits_{C_{\delta }}\frac{f\left(
z_0\right) }{z-z_0}dz.
$$
A segunda integral já foi calculada em um exemplo anterior,
$$
\oint\limits_{C_{\delta }}\frac{f\left( z_0\right) }{z-z_0}dz=f\left(z_0\right) \oint\limits_{C_{\delta }}\frac{dz}{z-z_0}=2\pi if\left(z_0\right) ,
$$
onde \(f\left( z_0\right)\) foi tirado de dentro do sinal de integração por ser uma constante com relação à variável integrada. Fica assim mostrado o teorema.

O teorema acima foi enunciado e demonstrado para valores fixos de \(z_0\). Note, no entanto que nenhuma consideração foi feita para que esse seja um ponto particular no plano complexo. Podemos reafirmar o teorema para pontos variáveis de \(\mathbb{C}\), da seguinte forma: se \(f\) é uma função analítica então ela assume os seguintes valores sobre pontos \(z\) contidos na região interior à \(C\),
$$
f\left( z\right) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f\left( w\right) }{w-z}dw.
$$
A variável de integração foi renomeada para diferenciá-la da variável livre, \(z\). Isto significa que uma função analítica pode ser avaliada no ponto \(z\) interior à curva \(C\) se conhecermos somente seus valores sobre o contorno. Observe que \(z\) é uma singularidade isolada do integrando, embora \(f\left( z\right)\) seja analítica.

Exemplo 5: Usando a fórmula integral de Cauchy podemos calcular
$$
I=\oint\limits_{C}\frac{\text{sen }z}{z-i}dz;\ \text{onde }C:\left\vert z-1\right\vert =2.
$$
O único ponto singular do integrando é \(z=i\), que está na região interior ao contorno \(C\), como mostrado na figura.

Tomamos então \(z_0=i\) e \(f\left( z\right) =\text{sen }z\) para uso da fórmula (1). Como resultado
$$
\oint\limits_{C}\frac{\text{sen }z}{z-i}dz=2\pi if\left( i\right) =\frac{2\pi i}{2i}\left( e^{-1}-e\right) =\pi \left( \frac{1}{e}-e\right).
$$
O cálculo do seno foi feito das seguinte forma: por definição
$$
\text{sen }z=\frac{1}{2i}\left( e^{iz}-e^{-iz}\right) ,
$$
portanto,
$$
\text{sen }i=\frac{1}{2i}\left( e^{-1}-e\right).
$$

Exemplo 6: Para calcular
$$
I=\oint\limits_{C}\frac{zdz}{\left( 9-z^{2}\right) \left( z+i\right) }; \;\; \text{onde }\;\; C:\left\vert z\right\vert =2
$$
observamos que o integrando possui três pontos singulares, que são \(z=-i\) e \(z=\pm 3\). Os pontos \(z=\pm 3\), no entanto, não estão dentro da região envolvida pelo contorno, de modo que podemos tomar
$$
z_0=-i,\ f\left( z\right) =\frac{z}{\left( 9-z^{2}\right) },
$$
e a integral é
$$
I=2\pi if\left( -i\right) =2\pi i\left( \frac{-i}{9+1}\right) =\frac{\pi }{5}.
$$

Exemplo 7: O cálculo da seguinte integral
$$
I=\oint\limits_{C}\frac{dz}{z^{2}+1}
$$
onde \(C\) é o retângulo de vértices \(\pm 2\pm 2i\) pode ser feito de duas formas. Os pontos \(z=\pm i\) são as únicas singularidades do integrando e ambos estão dentro da região limitada pelo contorno \(C\).

A integral pode ser reduzida ao cálculo sobre os contornos \(C_{1}\) e \(C_{2}\), como se mostra na figura, \(
\oint\nolimits_{C}=\oint\nolimits_{C_{1}}+\oint\nolimits_{C_{2}}\), assumindo a seguinte forma:
$$
I=I_{1}+I_{2}=\oint\limits_{C_{1}}\frac{dz}{\left( z+i\right) \left(
z-i\right) }+\oint\limits_{C_{2}}\frac{dz}{\left( z+i\right) \left(
z-i\right) },
$$
onde escrevemos \(z^{2}+1=\left( z+i\right) \left( z-i\right)\). Na primeira destas integrais apenas \(z_0=i\) é um ponto singular. Fazemos \(f\left(z\right) =1/\left( z+i\right)\) e usamos a fórmula da integral
$$
I_{1}=2\pi i~f\left( z_0\right) =2\pi i\frac{1}{2i}=\pi .
$$
Para calcular a segunda integral tomamos \(z_0=-i\) e \(f\left( z\right)=1/\left( z-i\right)\). Usando novamente a fórmula da integral temos
$$
I_{2}=2\pi i~f\left( z_0\right) =2\pi i\frac{-1}{2i}=-\pi ,
$$
de modo que a interal procurada é nula
$$
I=\oint\limits_{C}\frac{dz}{z^{2}+1}=I_{1}+I_{2}=\pi -\pi =0.
$$
Alternativamente, podemos proceder da seguinte forma. Escrevemos o integrando sob forma de frações parciais:
$$
\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{\left( z+i\right) \left( z-i\right) }=\frac{A}{z+i}+\frac{B}{z-i}.
$$
Para que a identidade seja satisfeita temos que identificar os numeradores, ou seja
$$
1=A\left( z-i\right) +B\left( z+i\right) =z\left( A+B\right) +i\left(-A+B\right) ,
$$
o que resulta no sistema
$$
\left.
\begin{array}{ll}
~~A+B & =0\ \\
-A+B & =-i,
\end{array}
\right\} \Rightarrow
\begin{array}{ll}
A & =i/2, \\
B & =-i/2.
\end{array}
$$
Verificamos assim que
$$
\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{i/2}{z+i}-\frac{i/2}{z-i}
$$
e a integral procurada é
$$
I=\frac{i}{2}\left( \oint\limits_{C}\frac{dz}{z+i}-\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-i}\right) =0
$$
pois cada uma das integrais tem a forma de
$$
\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i
$$
onde \(C\) envolve apenas um ponto singular \(z_0\) uma vez, no sentido positivo.

Devemos nos recordar, neste ponto, de que funções reais de uma varíavel real são chamadas de funções analíticas se possuem derivadas de todas as ordens que são, por sua vez, também analíticas. Isto garante que elas possuem uma expansão de Taylor, em séries de potências. Esta terminologia tem origem no estudo das funções de variáveis complexas, devido ao teorema que se segue.

Teorema: Uma função analítica em uma região \(R\) do plano complexo possue derivadas de todas as ordens em \(R\). Estas derivadas são, também, analíticas e podem ser obtidas porderivação direta da fórmula de Cauchy, sendo dadas por
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f\left(w\right) }{\left( w-z\right) ^{2}}dw.
$$

Demonstração: Seja \(C\) um contorno fechado simples em \(R\) e \(z\) um ponto na região interior a este contorno. Podemos então escrever
$$
f\left( z\right) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f\left( w\right) }{w-z}dw.
$$
Admitindo a possibilidade de inverter a ordem de operação entre a derivada e a integração obtemos
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\frac{df\left( z\right) }{dz}=\frac{1}{2\pi i}
\frac{d}{dz}\oint\limits_{C}\frac{f\left( w\right) }{w-z}dw=\frac{1}{2\pi i}
\oint\limits_{C}\frac{d}{dz}\frac{f\left( w\right) }{w-z}dw.
$$
Observando que \(f\left( w\right)\) é constante, do ponto de vista de variações em \(z\), e
$$
\frac{d}{dz}\frac{1}{w-z}=\frac{1}{\left( w-z\right)^{2}}
$$
chegamos ao resultado que queremos mostrar:
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f\left(w\right) }{\left( w-z\right) ^{2}}dw.
$$
Como consequência do teorema podemos obter a derivada segunda derivando mais uma vez a última expressão,
$$
f^{^{\prime \prime }}\left( z\right) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f\left( w\right) }{\left( w-z\right) ^{3}}dw,
$$
ou, por indução, a derivada de qualquer ordem

$$
f^{\left( n\right) }\left( z\right) =\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f\left( w\right) }{\left( w-z\right) ^{n+1}}dw.
$$

Exercícios:

1. Demonstre a equação (6).

Use a fórmula da integral de Cauchy para calcular:

10. \(\oint\limits_{C}\frac{dz}{z^{2}+1}\) onde \(C\) é o quadrado de vértices \(0\), \(2i,\ \pm 1+i\).

11. \(\oint\limits_{C}\frac{dz}{z^{2}+1}\) onde \(C\) é o quadrado de vértices \(0,-2i,\ \pm 1-i\).

12. \(\oint\limits_{C}\frac{ze^{z}dz}{z^{2}-2z-3}\) onde \(C\) é o losango de vértices \(\pm 2,\ \pm i\).

13. Use a fórmula da derivada para calcular \(\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =3}\frac{\cos \left( z^{2}+3z-1\right) }{\left( 2z+3\right)^{2}}dz\)

Algumas respostas:
$$
\begin{array}{lll}
2)\; 4\pi i & 3)\; – 4\pi i & 4)\; \pi \left( 1-e^{2}\right) /e \\
5)\; -\pi \left( e^{2}+1\right) /e \;\; & 6)\; 2\pi ie \;\; & 7)\; \pi /2 \\
8)\; \pi & 9)\; i\pi e^{2}/2 & 10)\; \pi \\
11)\; -\pi & 12)\; \pi i/2e. & 13)\; 0.
\end{array}
$$

Exercício Resolvido:

5) Faça \(f\left( z\right) =z\cos z\), e \(z_0=i\). A integral é, portanto, \(I=2\pi i\left( i\cos i\right)\). Como
$$
\cos z=\frac{1}{2}\left( e^{iz}+e^{-iz}\right) \Rightarrow \cos i=\frac{1}{2} \left( e^{i^{2}}+e^{-i^{2}}\right) =\frac{1}{2}\left( e^{-1}+e\right) ,
$$
temos \(I=-\pi \left( e^{-1}+e\right) =-\pi \left( e^{2}+1\right) /e\).

13) Dada a integral
$$
I=\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =3}\frac{\cos \left(z^{2}+3z-1\right) }{\left( 2z+3\right) ^{2}}dz
$$
defina
$$
I\left( w\right) =\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =3}\frac{\cos
\left( z^{2}+3z-1\right) }{\left( 2z-2w\right) ^{2}}dz=\frac{1}{4}
\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =3}\frac{\cos \left(
z^{2}+3z-1\right) }{\left( z-w\right) ^{2}}dz.
$$
Observe que a integral procurada é \(I=I\left( -3/2\right)\). Pela fórmula da derivada, obtida da fórmula da integral de Cauchy, temos
$$
I\left( w\right) =\frac{1}{4}\frac{d}{dw}\oint\limits_{\left\vert
z\right\vert =3}\frac{\cos \left( z^{2}+3z-1\right) }{z-w}dz,
$$
ond a última integral pode ser avaliada fazendo \(f\left( w\right) =\cos \left( w^{2}+3w-1\right)\). Portanto
$$
I\left( w\right) =\frac{2\pi i}{4}\frac{d}{dw}\left[ f\left( w\right) \right] =\frac{\pi i}{2}\frac{d}{dw}\left[ \cos \left( w^{2}+3w-1\right) \right] .
$$
Esta derivada pode ser obtida diretamente:
$$
I\left( w\right) =-\frac{\pi i}{2}\left[ \text{sen }\left( w^{2}+3w-1\right)\right] \left( 2w+3\right).
$$
A integral procurada é \(I=I\left( -3/2\right) =0\).

Teorema de Morera

Uma função analítica, como vimos, possui derivadas de todas as ordens e suas derivadas são também analíticas³. Por outro lado a integral de uma função analítica, quando integrada sobre um contorno fechado é sempre nula. O teorema seguinte afirma que a recíproca é também verdadeira.

Teorema de Morera: Seja \(f\) uma função contínua em uma região \(R\) satisfazendo \(\oint\nolimits_{C}f\left( z\right) dz=0\) para todo contorno \(C\) em \(R\). Então \(f\) é analítica em \(R\).

Demonstração: Seja\(z_0\) um ponto fixo qualquer de \(R\). A função
$$
F\left( z\right) =\int_{z_0}^{z}f\left( w\right) dw
$$
independe do caminho de integração pois, por hipótese, a integral sobre um caminho fechado é nula. Como no teorema da primitiva, \(F\) é analítica e sua derivada,
$$
\frac{d}{dz}F\left( z\right) =\frac{d}{dz}\int_{z_0}^{z}f\left( w\right)dw=f\left( z\right) ,
$$
é, também, uma funções analítica, o que conclui a demonstração do teorema.

Funções harmônicas

Uma função é chamada de “harmônica” em uma região \(R\) se, nesta região, ela possui derivadas de segunda ordem e satisfaz à equação de Laplace⁴
$$
\bigtriangledown ^{2}u=\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}=0.
$$
Se \(f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right)\) é analítica em \(R\) então ela possui derivadas de todas as ordens e
$$
\frac{d}{dz}=\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial \left(iy\right) }.
$$
Podemos então derivar as equações de Cauchy-Riemann um número arbitrário de vezes. Derivando uma vez
$$
\left.
\begin{array}{ccc}
u_{x}=v_{y} & \text{(em }x\text{)}\rightarrow & u_{xx}=v_{yx} \\
u_{y}=-v_{x} & \text{(em }y\text{)}\rightarrow & u_{yy}=-v_{xy}
\end{array}
\right\} \Rightarrow u_{xx}+u_{yy}=0,
$$
$$
\left.
\begin{array}{ccc}
u_{x}=v_{y} & \text{(em }y\text{)}\rightarrow & u_{xy}=v_{yy} \\
u_{y}=-v_{x} & \text{(em }x\text{)}\rightarrow & u_{yx}=-v_{xx}
\end{array}
\right\} \Rightarrow v_{xx}+v_{yy}=0,
$$
de onde concluimos que, se \(f\) é analítiva então \(u\left(x,y\right)\) e \(v\left( x,y\right)\) são funções harmônicas.

Uma questão interesssante que segue dai é a seguinte: dada uma função harmônica qualquer ela pode ser considerada parte real ou imaginária de uma função analítica? A resposta é afirmativa, como mostraremos a seguir para o caso geral. Antes disto, porém, vamos mostrar em um exemplo como encontrar a parte imaginária de uma função analítica se conhecemos sua parte real.

Exemplo 8: A função \(u\left( x,y\right)=x^{2}-y^{2}\) é harmônica pois
$$
u_{xx}=2,\ u_{yy}=-2,\ \bigtriangledown ^{2}u=0.
$$
Queremos determinar \(v=\text{Im}\left( f\right)\) de forma que a função \(f=u+iv\) seja analítica. Usando a primeira condição de Cauchy-Riemann
$$
u_{x}=2x=v_{y}
$$
podemos determinar, por integração, que

$$
v=-\int 2xdy=2xy+h\left( x\right)
$$
onde \(h\) é uma função, por enquanto indeterminada, que só pode depender de \(x\). Para encontrar \(h\) usamos a outra condição
$$
u_{y}=-2x=-v_{x}\Rightarrow v_{x}=2x.
$$
Comparando com a equação (7) obtemos
$$
v_{x}=2y+h^{\prime }
$$
de onde concluimos que \(h^{\prime }=0\) e, portanto \(h=c\), uma constante. A função analítica procurada é
$$
f\left( z\right) =x^{2}-y^{2}+2ixy+c=z^{2}+c.
$$
A função \(v\) é a chamada a harmônica conjugada de \(u\).

O caso geral pode ser tratado da seguinte forma: dada \(u\left( x,y\right)\) uma função harmônica procuramos sua harmônica conjugada, \(v\). Sua diferencial será
$$
dv=v_{x}dx+v_{y}dy=-u_{y}dx+u_{x}dy.
$$
Procuramos \(v\) na forma de
$$
v\left( x,y\right) =v_{0}+\int_{\left( x_{0},y_{0}\right) }^{\left(x,y\right) }-u_{y}dx+u_{x}dy,
$$
onde \(v_{0}=v\left( x_{0},y_{0}\right)\). A função \(v\left(x,y\right)\) está bem definida e possui derivadas contúnuas se a integral independe do caminho, ou seja, se \(-u_{y}dx+u_{x}dy\) é uma diferencial exata. Se isto ocorre então \(\oint -u_{y}dx+u_{x}dy=0\) pois \(\oint dv=0\). Para mostrar que este é exatamente o caso denotamos por \(R^{\prime }\) a região interior ao contorno \(C\) e usamos o teorema de Green
$$
\oint -u_{y}dx+u_{x}dy=\iint\nolimits_{R^{\prime }}\left(u_{xx}+u_{yy}\right) =0
$$
sendo que a última integral é nula porque \(u\) é harmônica.

Exercícios :

Mostre que as funções \(u\) dadas abaixo são harmônicas, encontre suas conjugadas harmônicas e as funções analíticas \(f=u+iv\).
$$
\begin{array}{ll}
\text{1.} \; u=x-5xy \;\; & \text{2.} \; u=x-4xy \\
\text{3.}\; u=\text{sen }x \cosh y \;\;\;\; & \text{4.} \; u=x^{3}-3xy^{2}
\end{array}
$$

Algumas respostas:

1. \(f(z)=z+5iz^{2}/2+c,\) 3. \( v=\cos x\text{ senh }y+c, \;\; f(z) =\text{sen }z+ic\).