Aplicações Lineares e Matrizes

Como vimos na seção anterior, toda matriz \(m \times n\) corresponde a uma aplicação linear \(T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m .\) A afirmação recíproca também é verdadeira: fixadas as bases de \(V\) e \(W\), toda aplicação linear \(T : V \rightarrow W\) está associada à uma única matriz \(m \times n\), desde que se escolha as bases de ambos os espaços. Vamos começar revendo a primeira parte deste conceito através de um exemplo para depois generalizá-lo.

Dados dois espaços vetoriais \(V\) e \(W\), com bases \(\beta\) e \(\beta’\), respectivamente, e uma matriz \(A_{m \times n}\), sendo \(n = \dim V\) e \(m = \dim
W\), então esta matriz corresponde a uma única aplicação linear.

Exemplo 1. Tome \(V = W =\mathbb{R}^2,\;\; \beta = \{(1, 0), (0, 1)\}, \;\;\beta’ = \{(1, 1), (- 1, 1)\},\) e a matriz
$$
A = \left[ \begin{array}{rr}
2 & 0\\
0 & 1
\end{array} \right],
$$

buscamos \(T_A\), a aplicação associada a esta matriz, lembrando que \(T_A\) depende das bases \(\beta\) e \(\beta’\). Se \(\vec{v} \in V\), escrevemos \(\vec{v} = (x, y)\) e o escrevemos na base \(\beta\) (que é a base canônica) como
$$ [\vec{v}]_{\beta} = \left[ \begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right]. $$

O efeito da transformação sobre sobre este vetor é
$$
A \vec{v} = \left[ \begin{array}{rr}
2 & 0\\
0 & 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
2 x\\
y
\end{array} \right] = \left[T_A (\vec{v})\right]_{\beta’},
$$

onde pretendemos que o vetor de chegada seja descrito na base \(\beta’\). Nesta base temos
$$ T_A (\vec{v}) = 2 x (1, 1) – y (- 1, 1) = (2 x – y, 2 x + y), $$

que é a aplicação procurada. Por exemplo, a imagem do vetor \(\vec{v} = (2, 3)\) é \(T_A (2, 3) = (1, 7)\).

Generalizando o procedimento acima, sejam \(V\) e \(W\) dois espaços vetoriais com suas respectivas bases, \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) e \(\beta’ = \{w_1, \ldots, w_m \}\) e \(A\) uma matriz \(m \times n\),
$$
A = \left[ \begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n}\\
\vdots & & & \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array} \right].
$$

Podemos então associar a esta matriz a aplicação \(T_A : V \rightarrow W\) da seguinte forma: escrevemos \(v\) na base \(\beta\),
$$ [v]_{\beta} = \vec{X} = \left[ \begin{array}{r} x_1 \\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right] $$

e a ação da aplicação sobre este vetor, \(T_A (v)\), descrita em termos da base \(\beta’\),
$$
[A \cdot \vec{X}]_{\beta’} = \left[ \begin{array}{r}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n
\end{array} \right]_{\beta’} \;\; \text{ onde } \;\; \left[
\begin{array}{r}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n}\\
\vdots & & & \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{array} \right].
$$

Como queremos obter o vetor de chegada na base \(\beta’\) temos \(T_A (v) = y_{1} w_1 + y_{2} w_2 + \ldots + y_{m} w_m\). Se nenhuma base for explicitada usaremos, por convenção, as bases canônicas.

Exemplo 2. Queremos encontrar a transformação \(T_A : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\), associada à matriz
$$ A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & – 3 & 5 \\ 2 & 4 & – 1 \end{array} \right]. $$

Como as bases não são mencionadas, usamos as bases canônicas de \(\mathbb{R}^3\) e \(\mathbb{R}^2\), respectivamente
$$
\beta = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\} \;\; \text{ e } \;\; \beta’ = \{(1, 0),
(0, 1)\} .
$$

Tome \(\vec{v} = (x, y, z)\), ou, na base canônica
$$
[\vec{v}]_{\beta} = \vec{X} = \left[ \begin{array}{r}
x\\
y\\
z
\end{array} \right].
$$

A matriz \(A\) transforma este vetor em
$$
A \vec{X} = \left[ \begin{array}{rrr}
1 & – 3 & 5 \\
2 & 4 & – 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y\\
z
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
x – 3 y + 5 z\\
2 x + 4 y – z
\end{array} \right].
$$

Como queremos a transformação descrita nas bases canônicas dos dois espaços, que é, portanto
$$ T_A (\vec{v}) = (x – 3 y + 5 z, 2 x + 4 y – z). $$

Exemplo 3. Vamos procurar pela transformação \(F_A : P_2 (t) \rightarrow P_1 (t)\) (lembrando que \(P_n\) é o espaço dos polinômios em \(t\) de grau menor ou igual a \(n\) ) com as respectivas bases \(\beta = \{1, t, t^2 \}\) e \(\beta’ = \{1, t + 1\}\), associada à matriz
$$
A = \left[ \begin{array}{lll}
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 2
\end{array} \right].
$$

Se \(f \in P_2 (t)\) então \(f = a + bt + ct^2\) e podemos escrever, na base \(\beta\)
$$
[f]_{\beta} = \vec{X} = \left[ \begin{array}{r}
a\\
b\\
c
\end{array} \right].
$$

Transformado pela matriz \(A\) este vetor se torna
$$
A \vec{X} = \left[ \begin{array}{lll}
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 2
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
a\\
b\\
c
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c}
a + c\\
2 a + b + 2 c
\end{array} \right] = [F_A (f)]_{\beta’} .
$$

O vetor transformado aparece na base \(\beta’\) por definição. A transformação procurada é
$$
F_A (f) = (a + c) 1 + (2 a + b + 2 c) (t + 1) = 3 a + b + 3 c + (2 a + b +
2 c) t.
$$

Como foi afirmado antes, toda transformação linear corresponde a uma única matriz se as bases de ambos os espaços forem especificadas. Considere transformação linear \(T : V \rightarrow W\), com bases \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) e \(\beta’ = \{w_1, \ldots, w_m \}\), respectivamente. Os vetores de \(\beta\) transformados por \(T\) são vetores de \(W\), ou seja \(T (v_k) \in W\) e, portanto, podem ser decompostos na base \(\beta’\)
$$\begin{array}{cc}
T (v_1) = & a_{11} w_1 + a_{21} w_1 + \ldots + a_{m 1} w_m, \\
\vdots & \vdots \\
T (v_n) = & a_{1 n} w_1 + a_{2 n} w_2 + \ldots + a_{mn} w_m,
\end{array}
$$

onde, mais uma vez, a escolha dos índices fica explicada a seguir. A transposta da matriz dos coeficientes é a matriz que corresponde a \(T\) nas bases escolhidas,
$$
\left[T\right]^{\beta}_{\beta’} = \left[ \begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n}\\
\vdots & & & \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array} \right].
$$

Novamente, escreveremos apenas \(\left[T\right]\) quando as bases envolvidas forem ambas canônicas.

Formalizando a afirmação acima temos:

Teorema: Dados os espaços vetoriais \(V\) e \(W\), com bases \(\alpha\) e \(\beta\) respectivamente, toda transformação linear \(T : V \rightarrow W\) corresponde a uma matriz \(A_{m \times n}\), onde \(n\) é a dimensão de \(V\) e \(m\) a dimensão de \(W\). Além disto, denotando esta matriz \(A = \left[T\right]_{\beta}^{\alpha}\) vale a relação
$$
\left[T(v)\right]_{\beta} = \left[T\right]_{\beta}^{\alpha} [v]_{\alpha} .
$$

Demonstração: Considere que \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n\}\) e \(\beta’ = \{w_1, \ldots, w_m \}\) são, respectivamente, bases de \(V\) e \(W\). Escrevemos \(v \in V\) na base \(\alpha\) e \(T (v) \in W\) na base \(\beta\),
$$
[v]_{\alpha} = \left[ \begin{array}{r}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{array} \right], \left[T(v)\right]_{\beta} = \left[ \begin{array}{r}
y_1\\
\vdots\\
y_m
\end{array} \right].
$$

A matriz procurada, correspondente a \(T\), é tal que \(A [v]_{\alpha} = [T(v)]_{\beta}\), ou seja,
$$
\left[
\begin{array}{lll}
a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & \cdots & a_{m n}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{r}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{r}
y_1 \\
\vdots \\
y_m
\end{array}
\right],
$$

onde denotamos \(A = \{a_{ij} \}\). Resta apenas encontrar as entradas \(a_{ij}\) da matriz. Para fazer isto tomamos \(v_1 \in \alpha\), o primeiro vetor desta base. Sendo um vetor de \(V\) ele pode ser escrito na própria base \(\alpha\) como
$$
[v_1]_{\alpha} = \left[ \begin{array}{r}
1\\
\vdots\\
0
\end{array} \right].
$$

Por efeito da transformação acima ele é levado em um vetor \(T(v_1) \in W\), que pode, portanto, ser escrito na base \(\beta\) como
$$
\left[T (v_1)\right]_{\beta} = \left[ \begin{array}{r}
y_1\\
\vdots\\
y_m
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{lll}
a_{11} & \cdots & a_{1 n}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{m 1} & \cdots & a_{m n}
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
1\\
\vdots\\
0
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
a_{11}\\
\vdots\\
a_{m 1}
\end{array} \right].
$$

Dai podemos concluir que
$$
\left[ \begin{array}{c}
y_1\\
\vdots\\
y_m
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c}
a_{11}\\
\vdots\\
a_{m 1}
\end{array} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c}
y_1 = a_{11},\\
\vdots\\
y_m = a_{m 1} .
\end{array} \right.
$$

Isto equivale a escrever
$$ T(v_1) = y_1 w_1 + \ldots + y_m w_m = a_{11} w_1 + \ldots + a_{m 1} w_m .$$

Pelo mesmo procedimento podemos mostrar que para qualquer vetor \(v_k \in \beta\) temos
$$ T (v_k) = a_{1 k} w_1 + \ldots + a_{mk} w_m, k = 1, \ldots, n. $$

Observe que, denotando \(A = \left[T\right]_{\beta}^{\alpha}\), podemos escrever
$$
\left[T(v)\right]_{\beta} = \left[T\right]_{\beta}^{\alpha} [v]_{\beta},
$$

o que representa uma forma de fácil memorização para representar todo o processo adotado. O símbolo \(\left[T\right]_{\beta}^{\alpha}\) significa a matriz associada a transformação \(T\) que leva vetores de \(V\), escritos na base \(\alpha\) para vetores de \(W\) escritos na base \(\beta\).

Exemplo 4. Dada uma transformação \(T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\) dada por
$$ T (x, y, z) = (2 x + y – z, 3 x – 2 y + 4 z) $$

e considerando as bases \(\beta = \{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)\}\) e \(\beta’ = \{(1, 3), (1, 4)\}\) vamos encontrar a matriz \(\left[T\right]_{\beta’}^{\beta}\) associada a esta transformação.

Primeiro calculamos o efeito de \(T\) sobre as vetores de \(\beta\) e escrevemos as imagens na base \(\beta’\):
$$ \begin{array}{rl}
T (1, 1, 1) = & (2, 5) = a (1, 3) + b (1, 4) = 3 (1, 3) – 1 (1, 4), \\
T (1, 1, 0) = & (3, 1) = c (1, 3) + d (1, 4) = 11 (1, 3) – 8 (1, 4), \\
T (1, 0, 0) = & (2, 3) = e (1, 3) + f (1, 4) = 5 (1, 3) – 3 (1, 4).
\end{array}
$$

As constantes \(a, b, \ldots, f\) foram calculadas como solução de sistemas. Por exemplo, na primeira equação temos
$$
\left. \begin{array}{l} a + b = 2 \\ 3 a + 4 b = 5 \end{array} \right\} \Rightarrow a = 3, \;\; b = – 1.$$

A matriz procurada é a transposta da matriz dos coeficientes, ou seja,
$$
\left[T\right]^{\beta}_{\beta’} = \left[ \begin{array}{rrr}
a & c & e\\
b & d & f
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr}
3 & 11 & 5\\
– 1 & – 8 & – 3
\end{array} \right].
$$

Exemplo 5. Dada a mesma transformação \(T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\) do exemplo anterior
$$ T (x, y, z) = (2 x + y – z, 3 x – 2 y + 4 z) $$

com as bases canônicas \(\beta = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}\) e \(\beta’ = \{(1, 0), (0, 1)\}\) veremos que a matriz \(\left[T\right]\) associada a esta transformação será diferente da anterior. Listamos a seguir a transformação sobre os vetores de \(\beta\) e escrevemos as imagens na base \(\beta’\) :
$$ \begin{array}{rl}
T (1, 0, 0) = & (2, 3) = a (1, 0) + b (0, 1) = 2 (1, 0) + 3 (01, 1), \\
T (0, 1, 0) = & (1, – 2) = c (1, 0) + d (0, 1) = 1 (1, 0) – 2 (0, 1),\\
T (0, 0, 1) = & (- 1, 4) = e (1, 0) + f (0, 1) = – 1 (1, 0) + 4 (0, 1) .
\end{array}
$$

A transposta da matriz dos coeficientes é a matriz procurada,
$$
\left[T\right] = \left[ \begin{array}{lll}
2 & 1 & – 1\\
3 & – 2 & 4
\end{array} \right].
$$

Exemplo 6. Considere a transformação identidade, \(T : V \rightarrow V\), \(T (v) = v\), realizada entre as bases \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) de \(V\) e \(\beta’ = \{w_1, \ldots, w_m \}\) de \(W\). Repetimos o procedimento, encontrando a imagem dos vetores de \(\beta\) e os escrevendo em \(\beta’\),
$$ \begin{array}{cc}
T (v_1) = & v_1 = a_{11} w_1 + a_{21} w_1 + \ldots + a_{m 1} w_m, \\
\vdots & \vdots \\
T (v_n) = & v_n = a_{1 n} w_1 + a_{2 n} w_2 + \ldots + a_{mn} w_m.
\end{array} $$

A representação matricial desta transformação é
$$
\left[T\right]_{\beta’}^{\beta} = \left[ \begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 n}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{m 1} & \cdots & a_{m n}
\end{array} \right] = I_{\beta’}^{\beta},
$$

que é, simplesmente, a matriz mudança de base, partindo da base \(\beta\) para \(\beta’\).

Exemplo 7. Dadas as bases \(\beta = \{(1, 1), (0, 1)\}\) \(\beta’ = \{(0, 3, 0), (- 1, 0, 0), (0, 1, 1) \}\), de \(\mathbb{R}^2\) e \(\mathbb{R}^3\) respectivamente, procuramos a transformação linear \(T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3\) correspondente à matriz associada
$$
\left[T\right]_{\beta’}^{\beta} = \left[ \begin{array}{rr}
0 & 2\\
– 1 & 0\\
– 1 & 3
\end{array} \right].
$$

Fazemos o processo inverso, pois os coeficientes da expansão de \(T (1, 1)\) e \(T (0, 1)\) na base \(\beta’\) são conhecidos,
$$ \begin{array}{rl}
T (1, 1) = & 0 (0, 3, 0) – 1 (- 1, 0, 0) – 1 (0, 1, 1) = (1, – 1, – 1), \\
T (0, 1) = & 2 (0, 3, 0) + 0 (- 1, 0, 0) + 3 (0, 1, 1) = (0, 9, 3).
\end{array} $$

Como conhecemos o efeito desta transformação sobre os vetores da base \(\beta\), sabemos seu efeito sobre qualquer vetor \((x, y) \in \mathbb{R}^2\). Nesta base
$$ (x, y) = x (1, 1) + (y – x) (0, 1) $$
e, portanto,
$$ \begin{array}{rl}
T (x, y) = & T [x (1, 1) + (y – x) (0, 1)] = xT (1, 1) + (y – x) T (0, 1) \\
= & x (1, – 1, – 1) + (y – x) (0, 9, 3) = (x, 9 y – 10 x, 3 y – 4 x).
\end{array}$$

Portanto a transformação procurada é \(T (x, y, z,) = (x, 9 y – 10 x, 3 y – 4 x)\).