Definição: Sejam \(V\) um espaço vetorial, \(v_1, v_2, \ldots, v_n \in V\) (n vetores de \(V\) ) e \(a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\) (n escalares). Então
$$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n \in V $$
é uma combinação linear dos vetores \(v_1, v_2, \ldots, v_n\).

Definição: O conjunto \(W\) formado por todos os vetores que são combinações lineares de \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) é chamado de subespaço gerado por estes vetores. Denotamos este subespaço por
$$
W = [v_1, v_2, \ldots, v_n] = \{ a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n ;\;\; a_i
\in \mathbb{R} \} .
$$

Exercício: Mostre que \(W\) é um subespaço vetorial de \(V\).

Quanto ao subespaço gerado por \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) notamos que \(W = [v_1, v_2, \ldots, v_n]\) é o menor subespaço de \(V\) que contém todos os vetores \(v_1, v_2, \ldots, v_n\).

Exemplo: Se \(V =\mathbb{R}^3\) e \(\vec{v} \in \mathbb{R}^3\), \(\vec{v} \neq 0\) então \([\vec{v}] = \{\alpha \vec{v} ; \alpha \in \mathbb{R}\}\) é uma reta de \(\mathbb{R}^3\) passando pela origem.

Exemplo: Se denotarmos por \(\hat{\imath},\; \hat{\jmath},\; \hat{k} \) os três vetores unitários (de módulo unitário), na direção dos eixos \(O x,\; O y\) e \(O z\) então
$$[\hat{\imath}, \hat{\jmath}] \;\; \text{é o plano} \;\; x O y,$$
$$[\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}] =\mathbb{R}^3.$$

Exemplo: Tomando dois vetores não colineares \(\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3\) então \([\vec{u}, \vec{v}]\) é o plano pela origem que contém \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\). Uma observação importante, que será mais elaborada a seguir, é a seguinte: qualquer outro vetor neste plano, por definição, é uma combinação linear de \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\).

Exemplo: Dados \(v_1, v_2 \in M (2, 2)\) abaixo
$$
v_1 = \left[ \begin{array}{rr}
1 & 0\\
0 & 0
\end{array} \right], \;\; v_2 = \left[ \begin{array}{rr}
0 & 1\\
0 & 0
\end{array} \right]
$$
então o espaço gerado por eles é
$$ \left[ v_1, v_2 \right] = \left\{ \left[ \begin{array}{rr} a & b\\ 0 & 0 \end{array} \right];\;\; a, b \in \mathbb{R} \right\},$$
um subespaço vetorial de \(M (2, 2)\).

Dependência e Independência Linear

Em muitas situações é importante saber se um vetor é ou não uma combinação linear de outros vetores dados. Como foi mencionado acima, se \(\vec{w}\) é combinação linear de \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) podemos escrever (e é importante que o leitor compreenda esta afirmação),
$$ \vec{w} \in [\vec{u}, \vec{v}] \Rightarrow [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = [\vec{u}, \vec{v}].$$

Exercício: Mostre que a afirmação acima está correta.

Alternativamente, queremos saber se, em \(n\) vetores, \(v_1, v_2, \ldots, v_n\), alguns deles são combinações lineares dos demais.

Definição: Sejam \(V\) um espaço vetorial e \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) vetores de \(V\). Dizemos que o conjunto \(\{v_1, v_2, \ldots, v_n \}\) é linearmente independente (abreviado por l.i.) se a expressão
$$ a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n = 0 $$
implica necessariamente que todas as constantes são nulas: \(a_1 = 0, a_2 = 0, \ldots, a_n = 0\). Caso contrário, se existe alguma outra forma de se obter o anulamento sem que todos os \(a_i\) sejam nulos, dizemos que os vetores são linearmente dependentes. Alternativamente temos o teorema abaixo:

Teorema: O conjunto \(\{v_1, v_2, \ldots, v_n \}\) é linarmente dependente se, e somente se, um, ou mais, dos vetores é combinação linear dos demais.

Demonstração: \(\Rightarrow)\) Supondo \(\{v_1, v_2, \ldots, v_n \}\) l.d. temos que a expressão (*) pode ser obtida com algum dos coeficientes não nulos. Tome \(a_j \neq 0\). Neste caso
$$ – a_j v_j = a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n \Rightarrow v_j =-\frac{a_1}{a_j} v_1 – \ldots – \frac{a_n}{a_j} v_n, $$
o que mostra que \(v_j\) é uma combinação linear dos demais.

\( \Leftarrow)\) Por outro lado, se \(v_j\) é uma combinação linear dos demais, podemos escrever
$$ v_j = b_1 v_1 + \ldots + b_n v_n \Rightarrow b_1 v_1 + \ldots – v_j + \ldots + b_n v_n = 0, $$
que é uma combinação linear nula dos vetores com \(b_j = – 1\), portanto não nulo. Dai se conclui que \(\{v_1, v_2, \ldots, v_n \}\) é l.d..

Resumindo estes resultados, dizemos o conjunto \(\{v_i \}\) é l.i. se nenhum de seus vetores é uma combinação linear dos demais.

Exemplo: Se \(V =\mathbb{R}^3, \overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2} \in V\). Então \(\{ \overrightarrow{v_1} \text{, } \overrightarrow{v_2} \}\) é l.d. \(\Leftrightarrow \overrightarrow{v_1} = \alpha \overrightarrow{v_2}\), onde \(\alpha\) é um escalar. Iso significa que dois vetores do espaço só podem ser l.d. se forem colineares. Três vetores de \(\mathbb{R}^3\) somente serão l.d. se estiverem sobre o mesmo plano. Quatro ou mais vetores de \(\mathbb{R}^3\) são necessariamente l.d., uma vez que existem apenas três direções independentes no espaço.

Exemplo: Em \(\mathbb{R}^2\) os vetores \(\hat{\imath} = (1, 0)\) e \(\hat{\jmath} = (0, 1)\) são l.i. pois
$$ a \hat{\imath} + b \hat{\jmath} = 0 \Rightarrow (a, b) = 0 \Rightarrow a = 0, b = 0.$$
Igualmente, os vetores \(\hat{\imath} = (1, 0, 0)\), \(\hat{\jmath} = (0, 1, 0)\) e \(\hat{k} = (0, 0, 1)\) em \(\mathbb{R}^3\) são l.i..

Base de um espaço vetorial

Dado \(V\), um espaço vetorial, procuramos por um conjunto mínimo de vetores \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) tal que qualquer um dos vetores de \(V\) seja uma combinação linear dos vetores em \(\beta\). Neste caso temos que \(V = \{a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n ; a_i \in \mathbb{R}\}\) ou seja \(V = [v_1, \ldots, v_n]\) (\(V\) é gerado pelos vetores de \(\beta\)).

Definição: Um conjunto \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) é uma base do espaço vetorial \(V\) se:

Exemplo: (\( \hat{\imath}, \hat{\jmath}\) ) é uma base de \(\mathbb{R}^2\). (\( \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}\) ) é uma base de \(\mathbb{R}^3\). Estas são as chamadas bases canônicas de cada um destes espaços. Deve estar claro que nos dois casos o significado de cada um destes vetores é diferente. Por exemplo, em \(\mathbb{R}^3\), \(\hat{\imath} = (1, 0, 0)\); em \(\mathbb{R}^2\) temos que \(\hat{\imath} = (1, 0)\).

Exemplo: \(\{(1, 1), (0, 1)\}\) é uma base de \(\mathbb{R}^2\). Para mostrar isto devemos verificar as duas condições da definição. (i) O conjunto é l.i. pois a expressão
$$ a (1, 1) + b (0, 1) = 0 $$

só pode ser satisfeita se
$$ (a, a + b) = 0 \Rightarrow a = 0, b = 0. $$

(ii) Além disto o conjunto gera \(\mathbb{R}^2\), pois qualquer vetor \(\vec{v} = (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2\) pode ser escrito como combinação linear destes vetores
$$
(\alpha, \beta) = a (1, 1) + b (0, 1) \Rightarrow
\left\{ \begin{array}{r} a = \alpha, \\ b = \beta – \alpha. \end{array} \right.
$$

Dizemos também que, nesta base, o vetor \(\vec{v} = (\alpha, \beta)\) tem componentes \(\alpha\) e \(\beta – \alpha\), ou seja
$$ (\alpha, \beta) = \alpha (1, 1) + (\beta – \alpha) (0, 1). $$

Exemplo: \(\{(0, 1), (0, 2)\}\) não é uma base de \(\mathbb{R}^2\) pois os vetores não são l.i. e nem geram o plano.

Exemplo: \(\{(1, 0, 0), (0, 1, 0)\}\) não é uma base de \(\mathbb{R}^3\). Estes vetores são l.i. mas não geram \(\mathbb{R}^3\), ou seja, a condição (ii) não é satisfeita.

Exemplo: O conjunto de matrizes
$$
\left\{
\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{array} \right],
\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right],
\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right],
\left[\begin{array}{rr} 0 & 0\\ 0 & 1\end{array} \right]
\right\}
$$
é uma base de \(M (2, 2)\).

Exemplo: Considerando \(P_n (t)\) o conjunto dos polinômios em \(t\) de grau menor ou igual a \(n\) temos que o conjunto
$$
\{ 1, t, t^2, \ldots, t^n \}
$$

é uma de suas bases. O conjunto é l.i. e todo elemento do espaço vetorial \(P_n (t)\) é uma combinação linear destes vetores,
$$
u \in P_n (t) \Rightarrow u = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + \ldots + a_n t^n,
$$
onde os termos \(a_i\) são escalares. É importante observar que o vetor \(1\) é o polinômio de grau zero, sem o qual o conjunto acima não geraria \(P_n (t)\).

Observação: Dizemos que o conjunto \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) é linearmente independente (l.i.) ou que os vetores \(v_1, \ldots, v_n\) são linearmente independentes. Igualmente dizemos que o conjunto \(\beta\) gera um espaço, ou que seus vetores, \(v_1, \ldots, v_n\), geram este espaço.

Teorema: Sejam \(V\) um espaço vetorial e \(v_1, \ldots, v_n\) vetores deste espaço. Se o conjunto \(\{v_1, \ldots, v_n \}\) gera este espaço vetorial então é possível extrair deles uma base para \(V\).

Demonstração: Se o conjunto \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) é l.i. então \(\beta\) já é uma base de \(V\). Caso contrário é possível encontrar constantes \(a_i\) tal que \(a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n = 0\) com alguma destas constantes não nula. Suponha que \(a_k\) seja uma destas constantes não nula, \(a_k \neq 0\). O vetor \(v_k\) correspondente é
$$ v_k=-\frac{a_1}{a_k} v_1 – \ldots – \frac{a_n}{a_k} v_n,$$
uma combinação linear dos demais. Retiramos este vetor do conjunto e repetimos o processo de verificação até restarem \(r\) (\( r \lt n\)) vetores l.i. que geram \(V\). Estes vetores restantes formam uma base de \(V\).

Observação: Para fixar este conceito note que, no conjunto \(\{v_1, \ldots, v_r, u_1, \ldots, u_{n – r} \}\), se os vetores \(u_k \) forem combinação linear dos vetores \(v_i\) então
$$ [v_1, \ldots, v_r, u_1, \ldots, u_{n – r}] = [v_1, \ldots, v_r]. $$

Resta ainda notar que a escolha dos vetores restantes não é única e, portanto, não existe uma única base para um espaço vetorial.

Teorema: Seja \(V\) o espaço vetorial gerado por \(v_1, v_2, \ldots, v_n\). Então, qualquer conjunto com mais de \(n\) vetores de \(V\) é l.d..

Demonstração: Suponha que existam \(r\) vetores l.i. em entre os vetores \(v_1, v_2, \ldots, v_n\). Então temos que \(V = [v_1, v_2, \ldots, v_r], r \leq n\), onde os vetores podem ter sido renomeados de modo a tornar os \(r\) primeiros vetores l.i.. Tome um conjunto com \(m\) elementos \(\{w_1, w_2, \ldots, w_m; \;\; w_i \in V\}\), cada um deles uma combinação linear dos vetores da base,
$$ w_k \in V \Rightarrow w_k = \sum_{i = 1}^r a_{k i} v_i . $$

Para testar a independência linear (ou não) destes vetores fazemos, como de costume,
$$ 0 = \sum_{k = 1}^m x_k w_k = \sum_{k = 1}^m x_k \left( \sum_{i=1}^r a_{k i} v_i \right) = $$

$$ = \sum_{k = 1}^m \sum_{i = 1}^r x_k a_{k i} v_i = \sum_{i = 1}^r \left(\sum_{k = 1}^m x_k a_{k i} \right) v_i = 0,$$

e procuramos descobrir se existem soluções onde os coeficientes \(x_k\) sejam não nulos. Se existirem, estes vetores são l.d.. Na primeira linha os vetores \(w_k\) foram substituídos por sua decomposição na base \(\beta\). Na segunda os somatórios foram realizados em ordem invertida, o que é possível uma vez que estamos lidando com somas finitas. Retomando, como na última expressão os vetores \(v_i\) são l.i., decorre que os termos entre parênteses devem ser nulo para cada \(i =1, \ldots, r\),
$$ \sum_{k = 1}^m x_k a_{k i} = 0, $$
o que representa \(r\) equações com \(m\) incógnitas \(x_k\) onde \(r \leq n \lt m\) (um número de incógnitas maior que o número de equações no sistema linear). Logo existem soluções não triviais para o sistema, \(x_k \neq 0\) para algum \(k\), de onde concluimos que conjunto \(\{w_k\}\) de \(m\) vetores é l.d..

Definição: A dimensão de um espaço vetorial \(V\), que denotaremos por \(\dim V\), é igual ao número de vetores de uma de suas bases.

Exemplo: \(\dim \mathbb{R}^3 = 3, \dim \mathbb{R}^n = n\). Em \(\mathbb{R}^n\) a base formada pelos \(n\) vetores \(\{\hat{\text{e}}_i\}\) dados por
$$
\hat{\text{e}}_1 = (1, 0, \ldots, 0), \hat{\text{e}}_2 = (0, 1, \ldots, 0), \hat{\text{e}}_n = (0, 0, \ldots, 1),
$$
é denominada base canônica. Esta é uma base ortonormal, ou seja, todos os vetores são perpendicalares entre si (ortogonais) e todos são unitários ou normalizados, possuem módulo igual a 1. Em outros termos,
vale o produto interno ou escalar $$
\hat{\text{e}}_i \cdot \hat{\text{e}}_j = \delta_{i j.}
$$

Exemplo: \(\dim M (2, 2) = 4, \dim M (m, n) = m \times n\).

Exemplo: \(\dim P_n (t) = n + 1\).

Consulte os exemplos dados anteriormente para confirmar estas afirmações.

Teorema: Se \(V\) é um espaço vetorial, qualquer conjunto \(\beta = \{v_1, \ldots, v_r;\;\; v_i \in V\}\), de vetores l.i., pode ser completado para formar uma base de \(V\).

Demonstração: Se \([v_1, \ldots, v_r] = V\) então \(\beta\) já é uma base de \(V\). Caso contrário procuramos um vetor \(v_{r + 1} \not\in [v_1, \ldots, v_r]\) e reiniciamos o procedimento de verificação até que tenhamos \(n\) vetores l.i. de forma que \([v_1, \ldots, v_n] = V\).

Corolário: Se a dimensão de um espaço vetorial \(V\) é \(\dim V = n\), então qualquer conjunto de \(n\) vetores l.i. deste espaço é uma base de \(V\).

Teorema: Se \(U\) e \(W\) são dois subespaços vetoriais do espaço vetorial \(V\), de dimensão finita, então \(\dim U \leq \dim V, \;\; \dim W \leq \dim V\). Além disto
$$\dim (U + W) = \dim U + \dim W – \dim (U \cap W).$$

Demonstração: A demonstração é deixada como um exercício.

Teorema: Dada uma base \(\beta\) do espaço vetorial \(V\), então cada vetor \(v \in V\) é escrito de maneira única como combinação linear dos vetores desta base.

Demonstração: Se \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) é esta base e \(v\) um vetor deste espaço, então
$$ v = a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n = \sum a_i v_i, $$
pois \(V = [v_1, \ldots, v_n]\). Suponha que seja possível escrever de outra forma esta mesma combinação linear, \(v = \sum b_i v_i\). Neste caso
$$ 0 = v – v = \sum a_i v_i – \sum b_i v_i = \sum (a_i – b_i) v_i .$$
Como \(\beta\) é um conjunto de vetores l.i. se conclui que \(a_i = b_i\), para \(i = 1, \ldots, n\).

Definição: Dada uma base \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) do espaço vetorial \(V\), os coeficientes \(a_i\) da expansão \(v = a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n = \sum a_i v_i\) são chamados de coordenadas do vetor \(v\) na base \(\beta\). Usaremos a seguinte notação:
$$
[v]_{\beta} = \left[ \begin{array}{r}
a_1\\
a_2\\
\cdots\\
a_n
\end{array} \right].
$$

Exemplo: Seja \(V =\mathbb{R}^2\), \(\beta = \{(1, 0), (0, 1)\}\) e \(\beta’ = \{(1, 1), (0, 1)\}\) duas de suas bases. O vetor \(\vec{v} = (4, 3)\) é
escrito, na base canônica, como
$$ \left[\vec{v}\right]_{\beta} = \left[ \begin{array}{r} 4 \\ 3 \end{array} \right].$$

Na base \(\beta’\) temos \((4, 3) = a (1, 1) + b (0, 1) = 4 (1, 1) + (- 1) (0, 1)\). Portanto
$$ [\vec{v}]_{\beta’} = \left[ \begin{array}{r} 4\\ – 1 \end{array} \right]. $$