3. Espaços Vetoriais

Na tentativa de descrever rigorosamente os objetos e fenômenos da natureza alguns deles podem ser descritos com um número simples, um escalar, enquanto outros necessitam de uma complexidade adicional, sendo descritos por meio de vetores. Existem ainda objetos de maior comlexidade, os tensores que não são objetos de tratamento deste texto. Vale apenas mencionar que vetores são casos especiais de tensores, enquanto escalares são casos especiais de vetores.

Faremos uma breve revisão de vetores do plano (que denotaremos por $\mathbb{R}^2$ ) e do espaço (que denotaremos por $\mathbb{R}^3$ ).

Exemplo: Deslocamentos no espaço são exemplos típicos de vetores. Suponha que uma partícula se desloca do ponto $(1, 2, 1)$ até o ponto $(3, 3, 3)$ . O deslocamento é um vetor
$$
\vec{d} = (3, 3, 3) – (1, 2, 1) = (2, 1, 2) .
$$

Como veremos também as posições inicial e final, que são pontos de $\mathbb{R}^3$ , são vetores. Representaremos os vetores por uma seta superscrita, como em $\vec{d}$ , ou em negrito, como $\mathbb{d}$ , dependendo da conveniência da notação em cada situação.

Exemplo: Podemos descrever a temperatura de pontos em uma sala por meio de um escalar, $T (x, y, z)$ . A temperatura varia com o ponto onde é avaliada mas, escolhido o ponto, ela pode ser inteiramente dada por meio de um único número. Este é um exemplo de um campo escalar.

Outros exemplos de vetores na física e na matemática são: força, momento, velocidade, vetores tangentes à uma curva, normais a superfícies. Temperatura, intervalos de tempo, comprimentos e número de indivíduos em uma população são exemplos de quantidades escalares.

Definição: Um vetor de $\mathbb{R}^2$ (do plano) é uma dupla ordenada que pode ser representada por uma matriz linha ou coluna,
$$
\vec{u} = (a, b) \;\; \text{ou} \;\; \vec{v} = \left[ \begin{array}{l} a\\ b\end{array} \right] .
$$

Um vetor do espaço, $\mathbb{R}^3$ , é uma tripla ordenada que pode ser representada igualmente das duas maneiras acima. Não existe nenhuma razão para nos limitarmos a três dimensões e o formalismo matemático para isto não acrescenta grandes dificuldades adicionais.

Definição: Um vetor de $\mathbb{R}^n$ é uma $n$-upla ordenada que pode ser representada por uma matriz linha ou coluna,
$$
\vec{u} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \text{ou} \vec{v} = \left[
\begin{array}{l}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{array} \right] .
$$

Observe que existe uma correspondência biunívoca entre pontos e vetores de $\mathbb{R}^n$ e por isto identificamos os dois conceitos.

Figura
Alguns exemplos de uso do $\mathbb{R}^n$ .

A posição de uma partícula pode ser completamente dada por meio de suas coordenadas cartesianas, $\vec{r} = (x, y, z)$ . Se esta partícula se move cada um das coordenadas é uma função do tempo, $\vec{r} (t) = (x (t), y (t), z (t))$ e sua velocidade é a derivada primeira deste vetor em relação ao tempo, $\vec{v} (t) = (\dot{x} (t), \dot{y} (t), \dot{z} (t))$ onde o ponto sobrescrito representa derivação em relação à variável livre, $t$ . Todos estes são vetores de $\mathbb{R}^{3.}$
A posição de uma barra fina no espaço pode ser dada por meio das coordenadas cartesianas de cada uma de suas pontas, $A = (a_1, a_2,
a_3), B = (b_1, b_2, b_3)$ . A posição da barra pode ser descrita pelo vetor $X = (a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3),$ um vetor do $\mathbb{R}^6$ .
A posição de $n$ partículas no espaço pode ser dada por meio de $3 n$ coordenadas, $\vec{X} = (x_{11}, x_{12}, x_{13}, \ldots, x_{n 1}, x_{n 2}, x_{n 3})$ , um vetor do $\mathbb{R}^{3 n}$ . Aqui foi adotada a convenção: $x_{k 1}$ é a coordenada $x$ da $k$-ésima partícula, e assim por adiante. Em muitas situações é necessário descrever os momentos das partículas, além de suas posições. O chamado espaço de fase é um espaço de $6 n$ dimensões, $\mathbb{R}^{6 n}$ , onde cada ponto contém a informação sobre a posição e o momento de todas as partículas do sistema.

Operações entre vetores

As seguintes operações podem ser definidas com vetores e entre vetores.

Multiplicação por escalar: Se $\alpha \in \mathbb{R}$ e $\vec{v} \in \mathbb{R}^3 $ definimos a multiplicação por escalar
$$ \alpha \vec{v} = \alpha (x_1, x_2, x_3) = (\alpha x_1, \alpha x_2, \alpha x_3). $$

Para um vetor $\vec{v} \in \mathbb{R}^3 $definimos
$$ \alpha \vec{v} = \alpha (x_1, x_2, \ldots, x_n) = (\alpha x_1, \alpha x_2, \ldots, \alpha x_n) . $$

O resultado é um vetor.
Soma de vetores: Se $\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3,\;\; \vec{u} =(u_1, u_2, u_3),\;\; \vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$, definimos a soma de dois vetores por
$$ \vec{u} + \vec{v} = (u_1, u_2, u_3) + (v_1, v_2, v_3) = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3) .$$

Se $\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^n, \vec{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n), \vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$
$$ \vec{u} + \vec{v} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) + (v_1, v_2, \ldots, v_n) = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, \ldots, u_n + v_n) .$$

O resultado é um vetor.
Produto escalar: Se $\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3, \vec{u} = (u_1, u_2, u_3), \vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ definimos o produto escalar entre eles como
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (u_1, u_2, u_3) \cdot (v_1, v_2, v_3) = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 .$$

Se $\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^n, \vec{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n), \vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$ o produto escalar entre eles é
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \cdot (v_1, v_2, \ldots, v_n) = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \ldots + u_n v_n = \sum_{i = 1}^n u_i v_i.$$

O produto escalar entre dois vetores é um escalar.

imagem soma de vetores e u-u=0

É útil, nesse ponto, discutir algumas propriedades do produto escalar:
- em termos matriciais, podemos escrever
  $$
  \vec{u} \cdot \vec{v} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \left[
  \begin{array}{l}
  v_1\\
  v_2\\
  \vdots\\
  v_n
  \end{array} \right] = \sum_{i = 1}^n u_i v_i .
  $$
- se $\theta$ é o ângulo entre $\vec{u}$ e $\vec{v}$ então
  $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \theta, $$
  onde $\left| \vec{u} \right| = \sqrt{u_1^2 + \ldots + u_n^2 } = \sqrt{\sum u_i^2 }$ é o módulo (o comprimento) do vetor. Observe ainda que, com estas definições
  $$ \left| \vec{u} \right| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u} } .
  $$

Os vetores do $\mathbb{R}^n$ , dotados das operações descritas, satisfazem as seguintes propriedades:

$(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ , (a adição é associativa);
$\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u},$ (a adição é comutativa);
$\exists \vec{0} \in \mathbb{R}^n$ tal que $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ , (existência do elemento neutro da adição);
$\exists – \vec{v} \in \mathbb{R}^n$ tal que $\vec{v} + (- \vec{v}) = \vec{0}, \forall \vec{v}$ , (existência do elemento inverso da adição);
$\alpha (\vec{u} + \vec{v}) = \alpha \vec{u} + \alpha \vec{v}$ ;
$(\alpha + \beta) \vec{v} = \alpha \vec{v} + \beta \vec{v}$ ;
$(\alpha \beta) \vec{v} = \alpha (\beta \vec{v})$ ;
$1 \vec{v} = \vec{v}$ ;

Muitos outros conjuntos partilham destas mesmas propriedades, o que motiva a definição de espaço vetorial, dada a seguir.

Espaços vetoriais

Definição: Um conjunto $V$ não vazio, dotado de duas operações: soma, $V \times V \rightarrow V$ , e multiplicação por escalar, $\mathbb{R} \times V \rightarrow V$ , satisfazendo as condições acima (de i até viii) é denominado um espaço vetorial.

Vamos apresentar uma definição posta em outros termos, buscando clarificar este conceito:

Definição: Um espaço vetorial é um conjunto $V \neq \emptyset$, dotado de duas operações $\oplus$ e $\odot$ , satisfazendo as seguintes propriedades:

Se $u,\, v \in V$ então $u \oplus v \in V$ , ($ V$ é fechado sob a operação $\oplus$);
- $u \oplus v = v \oplus u \forall u, v \in V,\;\; V$ é comutativo em relação à operação $\oplus$ );
- $u \oplus (v \oplus w) = (v \oplus u) \oplus w, \forall u, v, w \in V$ , (associatividade);
- Existe um único elemento $0 \in V$ tal que $0 \oplus u = u \oplus 0 = u, \forall u \in V$ ;
- Para cada $\forall u \in V$ existe um único elemento $ – u \in V$ tal que $u \oplus (- u) = 0$ ;
Se $u \in V$ e $\alpha \in \mathbb{R}$ então $\alpha \odot v \in V$ ;
- $\alpha \odot (u \oplus v) = \alpha \odot v \oplus \alpha \odot u$ ;
- $(\alpha + \beta) \odot u = \alpha \odot u + \beta \odot u$ ;
- $\alpha \odot (\beta \odot u) = (\alpha \beta) \odot u$ ;
- $1 \odot u = u$ .

Observe que o primeiro grupo de propriedades se refere à operação $\oplus$ enquanto o segundo se refere à operação $\odot$ . No caso de $V =\mathbb{R}^n$ a operação $\oplus$ se refere à adição de vetores, enquanto a operação $\odot$ se refere à multiplicação por um escalar. Para outros exemplos de espaços vetoriais estas operações podem ser totalmente diferentes destas, como veremos. No presente texto consideraremos em quase todos os casos que a multiplicação por escalar é feita com um número real mas ela pode, igualmente, ser realizada com complexos. Os elementos de $V$ são chamados de vetores e nem sempre são designados por meio de setas sobrescritas ou letras em negrito, como é costume fazer para os vetores de $\mathbb{R}^3$ . Estes vetores, algumas vezes, guardam semelhança muito remota com os familiares vetores de deslocamento no plano ou no espaço.

Exemplo: $V =\mathbb{R}^n$ é um espaço vetorial. Embora isto seja verdadeiro por definição, uma vez que as propriedades satisfeitas por estes espaços tenham sido exatamente motivadas pelas propriedades de $\mathbb{R}^n$ , vamos mostrar isto como um exercício.

$ V =\mathbb{R}^n = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) ; x_i \in \mathbb{R}\}$.
Tome $u, v \in V, u = (x_1, x_2, \ldots, x_n) $ e $v = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ .
Então
$$
u + v = (x_1, x_2, \ldots, x_n) + (y_1, y_2, \ldots, y_n) = (x_1 + y_1, x_2
+ y_2, \ldots, x_n + y_n) \in V,
$$

o que verifica a propriedade (i). O elemento neutro da soma e o inverso são, respectivamente
$$
0 = (0, 0, \ldots, 0),\;\; u = (- x_1, – x_2, \ldots, – x_n) .
$$

Se $\alpha$ é um escalar então
$$
\alpha u = \alpha (x_1, x_2, \ldots, x_n) = (\alpha x_1, \alpha x_2, \ldots, \alpha x_n) \in V,
$$

o que mostra a propriedade (ii). As demais subpropriedades não mostradas aqui serão deixadas como exercícios.

Exemplo: Denote por $M(2,2)$ o espaço das matrizes $2 \times 2$ , sendo $\oplus$ a soma de matrizes e $\odot$ a multiplicação de uma matriz por um escalar,
$$
V = M (2, 2) = \left\{ \left[ \begin{array}{ll}
a & b\\
c & d
\end{array} \right];\;\; a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\} \text{.}
$$

Dois vetores deste espaço são
$$
u = \left[ \begin{array}{ll}
a & b\\
c & d
\end{array} \right];\;\; v = \left[ \begin{array}{ll}
e & f\\
g & h
\end{array} \right] .
$$

A soma destes vetores é um novo elemento de $V$ ,
$$
u + v = \left[ \begin{array}{ll}
a & b\\
c & d
\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ll}
e & f\\
g & h
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ll}
a + e & b + f\\
c + g & d + h
\end{array} \right] \in V,
$$

e, se $\alpha$ é um escalar, então
$$
\alpha u = \alpha \left[ \begin{array}{ll}
a & b\\
c & d
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ll}
\alpha a & \alpha b\\
\alpha c & \alpha d
\end{array} \right] \in V,
$$

o que mostra que as propriedades (i) e (ii) são satisfeitas. O vetor nulo e o oposto de u são, respectivamente,
$$
\tilde{0} = \left[ \begin{array}{ll}
0 & 0\\
0 & 0
\end{array} \right], \;\;\; – u = \left[ \begin{array}{ll}
– a & – b\\
– c & – d
\end{array} \right] .
$$

Pelo mesmo procedimento se pode mostrar que $M (m, n)$ , o espaço das matrizes $m \times n$ , é um espaço vetorial.

Exemplo: Considere $P_n$ o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a $n, \oplus$ a soma de polinômios e $\odot$ a multiplicação de um polinômio por um escalar. Então
$$ V = P_n = \{ a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n ;\;\; a_i \in \mathbb{R} \} $$

é um espaço vetorial. Para ver isto tomamos dois elementos de $P_n$ ,
$$
u = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n ; v = b_0 + b_1 x + \ldots + b_n x^n
$$

e encontramos sua soma
$$ u + v = (a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n) + (b_0 + b_1 x + \ldots + b_n x^n) = $$
$$ (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + \ldots + (a_n + b_n) x^n $$

que é, também um elemento de $P_n$ . A multiplicação de um polinômio por um escalar é
$$ \alpha u = \alpha (a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n) = (\alpha a_0 + \alpha a_1 x + \ldots + \alpha a_n x^n) $$

que, novamente, é um elemento de $P_n$ . O elemento nulo da soma é 0 (o polinômio com todos os $a_i = 0$) e o elemento oposto à $u$ é $– u = – a_0 – a_1 x – \ldots – a_n x^n$.

Para que um conjunto, escolhidas as duas operações particulares, seja um espaço vetorial é necessário que satisfaça todas as condições listadas na definição. Esta é uma característica especial, não satisfeita por grande número de conjuntos. Com frequência o espaço que se deseja testar é subconjunto de um conjunto previamente conhecido como sendo um espaço vetorial. Isto nos leva à consideração dos subespaços vetoriais.

Subespaços Vetoriais

Observe que uma reta de $\mathbb{R}^2$ passando pela origem é um espaço vetorial. Denotando por $W$ esta reta $$
W = \{ \vec{v} \in \mathbb{R}^2 ; \vec{v} = \alpha \vec{u} \}
$$
e notando que esta é a reta composta por todos os vetores do plano na direção de $\vec{u}$ (dizemos que ela é gerada por $\vec{u}$ ), verificamos que se $\vec{v}$ , $\vec{w} \in W$ então $\vec{v} + \vec{w} \in W$ e $a \vec{v} \in W$ , onde $a$ é um escalar qualquer.

No entanto, se $W’$ for outra reta qualquer que não passe pela origem este não seria um espaço vetorial. Para concluir isto basta notar que, se $\vec{v} \in W’$ , $\vec{v} – \vec{v} = \vec{0}$ , que não está em $W’$ .

Definição: Dado um espaço vetorial $V$ , um subconjunto não vazio $W$ de $V$ é um subespaço vetorial de $V$ se

Se $u, v \in W \Rightarrow u + v \in W$ ,
Se $u \in W$ e $\alpha \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha u \in
W$ .

Resumidamente um subespaço vetorial é um subconjunto de um espaço vetorial que é, também, um espaço vetorial. As subpropriedades da definição de espaço vetorial estão garantidas pelo fato de ser $V$ um espaço vetorial. Basta, portanto, testar as propriedades (i) e (ii). Vale observar que

todo subespaço vetorial $W$ deve conter o vetor nulo (o elemento neutro da soma) pois, se $v \in W$ , então $v – v = 0$ também deve estar em $W$ ;
todo espaço vetorial $V$ admite pelo menos dois subespaços vetoriais: $\{ 0 \}$ e $V$ . Estes são os chamados subespaços vetoriais triviais.

Exemplo: Se $V =\mathbb{R}^3$ então $W \subset V$ , onde $W$ é um plano qualquer passando pela origem, é um subespaço vetorial de $V$ .

imagem

Exemplo: Tome $V =\mathbb{R}^5$ e $W = \{ (0, x_2, x_3, x_4, x_5) ; \;\; x_i \in \mathbb{R} \}$ . Então $W \subset V$ e

$u = (0, x_2, x_3, x_4, x_5), v = (0, y_2, y_3, y_4, y_5), u, v \in W$ então $u + v = (0, x_2 + y_2, x_3 + y_3, x_4 + y_4, x_5 + y_5) \in W$ ;
Se $k \in \mathbb{R}$ então $k u = (0, k x_2, k x_3, k x_4, k x_5) \in W$ .

Logo $W$ é subespaço vetorial de $V$ .

Exemplo: Se $V = M (m, n)$ e $W$ o conjunto das matrizes triangulares superiores (onde apenas elementos acima da diagonal principal são não nulos) então $W$ é subespaço vetorial de $V$ .

Exemplo: Sejam $V = M (n, n)$ e $W$ o subconjunto das matrizes $n \times n$ com $a_{11} \lt 0$ . Então $W$ não é um subconjunto vetorial de $V$.

Exemplo: Um sistema de equações lineares homogêneo é um sistema com a matriz dos termos constantes nula, na forma de $A \vec{X} = 0$ . Considere, por exemplo, o seguinte sistema homogêneo
$$
\begin{array}{l}
2 x + 4 y + z = 0\\
x + y + 2 z = 0\\
x + 3 y – z = 0
\end{array}
$$
ou, em termos matriciais,
$$
\left[ \begin{array}{lll} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 3 & – 1\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{l} x \\ y\\ z \end{array} \right] = 0.
$$

O conjunto de todas as soluções deste sistema, $W$ , é um subespaço vetorial de $M (3, 1)$ . Podemos concluir isto mesmo sem resolver explicitamente o sistema. Suponha que $\vec{X}_1$ e $\overrightarrow{X_2} $ sejam soluções, então, $\vec{X}_1 + \overrightarrow{X_2} \in W$ pois
$$
A (\vec{X}_1 + \overrightarrow{X_2}) = A \vec{X}_1 + A \overrightarrow{X_2} = 0
$$
pois cada um dos dois vetores são solução do sistema. Além disto, para $\alpha$ um escalar qualquer, $\alpha \vec{X}_1 \in W$ pois
$$
A (\alpha \vec{X}_1) = \alpha A \vec{X}_1 = 0.
$$

A exata relação entre estes espaços será objeto de nosso estudo em breve.

Algumas considerações adicionais sobre sistemas lineares homogêneos serão úteis. Podemos identificar $M (1, 3)$ com o espaço $\mathbb{R}^3$ . Cada uma das equações do sistema acima descreve os pontos de um plano no espaço. $W$ , a solução deste sistema, é a interseção entre estes três planos, se esta interseção existir. Para que $W$ seja um espaço vetorial é necessário que esta interseção contenha a origem, ou seja, o ponto $(0, 0, 0)$ . O conjunto de soluções de um sistema não homogêneo, $A \vec{X} = \vec{B}$ , com $\vec{B} \neq 0$ , não é um subespaço vetorial.

Ainda sobre o sistema homogêneo $A \vec{X} = 0$ , observe que $\vec{X} = 0$ sempre será uma solução (que chamamos de solução trivial). Se a matriz $A$ é invertível, multiplicamos à esquerda o sistema por sua inversa $$
A^{- 1} A \vec{X} = 0 \Rightarrow \vec{X} = 0,
$$
ou seja, só existe a solução trivial. Para que exista outra solução, além da trivial, é necessário que $A$ seja não invertível, isto é, $\det A = 0$ .

Teorema: Se $W_1$ e $W_2$ são subespaços vetoriais de $V$ então a interseção entre eles, $W_1 \cap W_2$ , também é subespaço vetorial de $V$ .

Demonstração: Sabemos que $W_1 \neq \emptyset$ e $W_2 \neq \emptyset$ pois ambos são subespaços vetoriais de $V$. Além disto $W_1 \cap W_2 \neq \emptyset$ pois ambos contém pelo menos o vetor nulo. Então

Se $x, y \in W_1 \cap W_2$ temos
$$
\left. \begin{array}{l}
x, y \in W_1 \Rightarrow x + y \in W_1\\
x, y \in W_2 \Rightarrow x + y \in W_2
\end{array} \right\} \Rightarrow \text{ } x + y \in W_1 \cap W_2 ;
$$
Se $x \in W_1 \cap W_2$ e $\alpha$ é um escalar, então

$$
\left. \begin{array}{l}
x \in W_1 \Rightarrow \alpha x \in W_1\\
x \in W_2 \Rightarrow \alpha x \in W_2
\end{array} \right\} \Rightarrow \alpha x \in W_1 \cap W_2,
$$
e isto conclui a demonstração.

Exemplo: $V =\mathbb{R}^3, W_1$ e $W_2$ são planos do espaço que contém a origem. Então $W_1 \cap W_2$ é uma reta pela origem ou um plano, caso $W_1$ e $W_2$ sejam coincidentes. Em ambos os casos a interseção é um subespaço vetorial de $V$ .

Exemplo: $V = M (n, n)$ , $W_1$ composto pelas matrizes triangulares superiores $(a_{i j} = 0,$ se $j > i)$ e $W_2$ matrizes triangulares inferiores $(a_{i j} = 0,$ se $i > j)$ . A interseção, $W_1 \cap W_2$ , é o conjunto das matrizes diagonais, $(a_{i j} = 0,$ se $i \neq j)$ , um subespaço vetorial de $V$ .

Exemplo: $V =\mathbb{R}^3$ , $W_1$ e $W_2$ retas não coincidentes pela origem. Neste caso a interseção contém apenas a origem, $ W_1 \cap W_2 = \{ 0 \}$ . Observe que, se $\vec{u} \in W_1$ e $\vec{v} \in W_2$ , então $\vec{u} + \vec{v} \not\in W_1 \cap W_2$ , exceto se ambos os vetores forem nulos. Dai se conclui que $W_1 \cap W_2$ não é um subespaço vetorial de $V$ .

Imagem

É possível, no entanto, definir a soma de dois subespaços vetoriais, $W = W_1 + W_2$ , de forma a que $W$ seja um subespaço vetorial de $V$ .

Teorema: Sejam $W_1$ e $W_2$ dois subespaços vetoriais de $V$ . Então
$$
W=W_1+W_2=\{\vec{v}\in V;\;\vec{v}=\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2};\;\;\overrightarrow{w_1} \in W_1, \overrightarrow{w_2}\in W_2\}
$$

é um subespaço vetorial de $V$ .

A demonstração fica como um exercício para o leitor.

Exemplo: Se $V =\mathbb{R}^3$ , $W_1$ o eixo $Ox$ e $W_2$ o eixo $Oy$ , então $W_1 + W_2$ é o plano $x\,y$ .

Exemplo: Sejam $W_1$ e $W_2$ dois subespaços vetoriais de $M (2, 2)$, dados por
$$
W_1 = \left\{\left[
\begin{array}{ll} a & b\\ 0 & 0 \end{array}
\right];\;\; a, b \in \mathbb{R}
\right\},
W_2 = \left\{\left[
\begin{array}{ll} 0 & 0\\ c & d \end{array}
\right];\;\; c, d \in \mathbb{R}
\right\},
$$

então $W_1 + W_2 = M (2, 2)$ .

Quando $ W_1 \cap W_2 = \{ \vec{0} \}$ então a soma $W_1 + W_2$ é chamada de soma direta, denotada em muitos textos por $W_1 \oplus W_2$ .

Exemplo: $\mathbb{R}^3 =\mathbb{R} \oplus \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$ .

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3. Espaços Vetoriais

Operações entre vetores

Espaços vetoriais

Subespaços Vetoriais

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