Equações Separáveis

As equações diferenciais de primeira ordem mais simples aparecem sob a forma diretamente integrável. São equações na forma
$$
h(y)y^{\prime}=f(x).
$$
Para resolvê-las tratamos provisoriamente as variáveis \(x\) e \(y\) como sendo ambas independentes. A solução da equação é, exatamente, a descrição da dependência entre \(x\) e \(y\). Primeiro reescrevemos a equação (1) como
$$
h(y)dy=f(x)dx
$$
e em seguida integramos os dois lados da equação
$$
\int h(y)dy=\int f(x)dx.
$$
Destas integrações resulta a solução sob forma implícita ou explícita, sempre envolvendo uma constante de integração. De posse desta técnica vamos tratar novamente o primeiro exemplo resolvido na Introdução.

Exemplo 1. Que função é idêntica à sua derivada? Vamos proceder à separação de variáveis
$$
y^{\prime}=y\Rightarrow\frac{dy}{y}=dx\Rightarrow\int\frac{dy}{y}=\int dx.
$$

Integrando a última equação obtemos
$$
\ln y=x+c,
$$
onde \(c\) é uma constante de integração. Para obter uma solução explícita para \(y(x)\), o que é sempre interessante quando possível, tomamos a exponencial de ambos os lados
$$
e^{\ln y}=e^{x+c}\Rightarrow y(x)=Ce^{x},
$$
onde renomeamos a constante \(e^{c}=C\) para obter uma notação mais enxuta.

A solução encontrada, \(y(x)=Ce^{x}\), é a chamada solução geral do problema. Observe que ela é, para sermos mais exatos, uma família de infinitas soluções, dada a liberdade de se escolher infinitos valores para \(C\). Considerando que \(C\) e \(c\) são ambas constantes desconhecidas não é essencial descrever como as duas se relacionam. Na verdade, na maior parte dos problemas, temos a liberdade para renomear a constante de integração de forma a obter uma solução final sob forma compacta e de fácil utilização.

Exemplo 2. Vamos resolver uma equação separável, desta vez acrescentando uma condição de contorno, o que será usada para determinar um valor para a constante de integração. Considere o problema de contorno para a equação diferencial separável:
$$
xy^{\prime}+y=0,\,\,\,y(1)=1.
$$
Primeiro separamos a equação e a integramos
$$
xdy=-ydx\Rightarrow\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\Rightarrow\int\frac{dy}{y}=-\int\frac{dx}{x}
$$
o que resulta em
$$
\ln y=-\ln x+c.
$$

Tomando a exponencial dos dois lados obtemos a solução geral:
$$
y(x)=e^{-\ln x+c}=e^{-\ln x}e^{c}=C(e^{\ln x})^{-1}=Cx^{-1}=\frac{C}{x}.
$$

Para satisfazer a condição de contorno ajustamos a constante C
$$
y(1)=\frac{C}{1}=1\Rightarrow C=1.
$$

A solução particular é, portanto,
$$
y(x)=\frac{1}{x}.
$$

É sempre interessante proceder à verificação da solução encontrada. Como
$$
y(x)=\frac{C}{x}\Rightarrow y^{\prime}=-\frac{C}{x^{2}}.
$$

Substituindo na equação (2)
$$
xy^{\prime}+y=x\left(-\frac{C}{x^{2}}\right)+\frac{C}{x}=0,
$$

o que mostra estar correta a solução encontrada.

Algumas Aplicações

Uma grande quantidade de problemas de natureza prática e aplicada podem ser resolvidos com a técnica vista até este ponto.

Decaimento radioativo Uma substância radioativa se decompõe, transformando-se em outra substância, em uma taxa proporcional à quantidade de massa presente. Matematicamente representamos esta afirmação por meio da equação diferencial
$$
\frac{dm}{dt}=km,
$$
onde \(m(t)\) é a quantidade de massa da substância radioativa para cada instante \(t\). A constante \(k\) é uma característica de cada material, sendo que, quanto maior o seu valor, mais radioativa é a substância e mais rapidamente ela se decompõe. Ela é uma constante negativa, indicando que a quantidade do material original está diminuindo. A meia-vida da substância é definida como o tempo gasto para que metade da substância se decomponha. Pode-se verificar em laboratório que a meia-vida da rádio é de 1.590 anos. Após 100 anos de decomposição quanto restará de rádio na amostra? A equação diferencial (3) é uma equação separável:
$$
\frac{dm}{m}=kdt\Rightarrow m(t)=m_{0}e^{kt},
$$

onde \(m_{0}\), a constante de integração, é a quantidade da substância em \(t=0\). Denotando a meia-vida por \(t_{m}\), temos por definição
$$
m(t_{m})=\frac{1}{2}m_{0}
$$

e, portanto
$$
e^{kt_{m}}=\frac{1}{2}.
$$

Tomando o logaritmo dos dois lados temos
$$
kt_{m}=\ln 0,5
$$

e dai, já que conhecemos a meia-vida, podemos calcular o valor de \(k\), para o rádio
$$
k=\frac{\ln0,5}{t_{m}}=\frac{\ln0,5}{1590}\text{anos}^{-1}\approx-4,36\times10^{-4}\text{anos}^{-1}.
$$

Observe que esta constante tem unidades de \(\text{(tempo)}^{-1}\), condição necessária para que o argumento da exponencial seja adimensional. Com isto descobrimos que, para qualquer instante \(t\) (medido em anos), a quantidade de massa do material radioativo é
$$
m(t)=m_{0}e^{-4,36\times10^{-4}t}.
$$

Ao final de \(100\) anos de decomposição teremos
$$
m(100)=m_{0}e^{-4,36\times10^{-4}\times100}\approx0,957m_{0},
$$

restando, portanto \(\approx95,7\%\) de rádio presente na amostra original. Este é basicamente o método usado para determinação de idade em fósseis e artefatos antigos.

Exemplo 3. Crescimento populacional: Uma cultura de bactérias, por exemplo, cresce com taxa proporcional ao número de bactérias presentes a cada instante. Denotando por \(N(t)\) este número a população deve satisfazer a equação
$$
\frac{dN(t)}{dt}=kN(t),
$$

onde \(k\) é uma constante positiva, para indicar crescimento da população. Esta constante depende do tipo da população considerada e deve ser medida empiricamente. A solução para este problema é
$$
N(t)=N_{0}e^{kt},
$$

onde \(N_{0}\) é a população inicial. Suponha que a observação tenha indicado que, medindo o tempo em horas, a experimentação tenha indicado que, após 1 dia, a população inicial terá se multiplicado por \(1000\), ou seja
$$
N(24)=1000N_{0}.
$$

Podemos então determinar o valor de \(k\)
$$
e^{24k}=1000\Rightarrow24k=\ln1000\approx6,91\Rightarrow k\approx2,88\times10^{-1}\text{horas}^{-1}.
$$

Ao final de \(10\) dias (ou seja, \(240\) horas) existirão
$$
N(240)=N_{0}\exp(240\times2,88\times10^{-1})\approx10^{30}N_{0}
$$

bactérias, um número muito superior que o número inicial! Evidentemente nenhuma população pode crescer indefinidamente nesta taxa exponencial o que indica que este nosso primeiro modelo é demasiamente simplista. Um modelo mais preciso para descrever estas populações foi proposto por Verhuslt, um biólogo e matemático que sugeriu a seguinte equação:
$$
\frac{dN}{dt}=N(a-bN),
$$

onde \(a\) é uma constante indicadora do número de nascimentos e \(b\) do número de óbitos. Esta é também uma equação separável
$$
\frac{dN}{N(a-bN)}=dt
$$

que pode ser integrada pelo método das frações parciais¹. Notando que
$$
\frac{1}{N(a-bN)}=\frac{1}{a}\frac{1}{N}+\frac{b}{a}\frac{1}{a-bN},
$$

temos
$$
\int\frac{dN}{N(a-bN)}=\int\left[\frac{1}{a}\frac{1}{N}+\frac{b}{a}\frac{1}{a-bN}\right]dN=\frac{1}{a}\ln N-\frac{1}{a}\ln(a-bN)=t+c,
$$

ou ainda
$$
\ln\left(\frac{N}{a-bN}\right)=at+ac\Rightarrow\frac{N}{a-bN}=c_{1}e^{at}.
$$

Escrevendo \(N(0)=N_{0}\) e resolvendo para obter N explicitamente temos
$$
N(t)=\frac{aN_{0}}{bN_{0}+(a-bN_{0})e^{-at}}.
$$

Exercícios 1

Resolva as seguintes equações diferenciais. Considere \(m,\,\,n\) e \(\omega\) constantes.

1. \(y^{\prime}+y=0\)	2. \(y^{\prime}=my/x\)
3. \(y^{\prime}=x^{2}/y\)	4. \(mxy^{\prime}=ny\,\,\,(m\neq0)\)
5. \(yy^{\prime}=\cos^{2}\omega x\)	6. \(y^{\prime}=1+x+y^{2}+xy^{2}\)
7. \(xyy^{\prime}=2(y+1)\)	8. \(y^{\prime}+my+n=0\)
9. \(y^{2}y^{\prime}+x^{2}=0\)	10. \(y^{\prime}+ky=0, \,\,\, y(0)=3\)
11. \(xy^{\prime}=3y,y(2)=-8\)	12. \(y^{\prime}=4x^{3}e^{-y},\,\,\,y(1)=0\)
13. \(xy^{\prime}+y=0\), \(y(1)=1\)	14. \(xyy^{\prime}=y+3,\,\,\,y(1)=0\)
15. \(y^{\prime}+y=0\)	16. \(y^{\prime}=my/x\)

17. (Crescimento exponencial) Em uma cultura de levedo a taxa de transformação por unidade de tempo do fermento ativo é proporcional à quantidade do fermento presente, \(y(t)\). Se \(y(t)\) duplica a cada 30 minutos, quanto fermento haverá depois de 8 horas?

Algumas soluções

2. \(y=cx^{m}\)	4. \(y=cx^{n/m}\)	5. \(y^{2}=x+\frac{1}{2\omega}\text{ sen }\,2\omega x\)
9. \(y^{3}+x^{3}=c\)	10. \(3e^{-kx}\)	13. \(y=1/x\)

Equações Redutíveis à Forma Separável

Pode ocorrer que uma equação diferencial de primeira ordem não seja diretamente separável mas possa ser transformada em uma equação separável por meio de uma substituição apropriada de variáveis. A escolha da substituição nem sempre é simples e, em alguns casos, pode ser necessário um certo trabalho de tentativas e erros para se encontrar a escolha adequada. Mostraremos através de um exemplo o funcionamento do método.

Exemplo 4. Resolva a equação
$$
xy^{\prime}=x+y.
$$

Dividindo os dois lados por \(x\) obtemos
$$
y^{\prime}=1+\frac{y}{x}
$$

o que sugere, como discutiremos a seguir, o uso da seguinte nova variável
$$
u=\frac{y}{x}.
$$

Necessitaremos também conhecer \(y^{\prime}\) em termos de \(u\). Para isto observamos que \(y=ux\) e, portanto, sua derivada é
$$
y^{\prime}=u^{\prime}x+u.
$$

Substituimos \(y\) e \(y^{\prime}\) na equação (4) para obter
$$
u^{\prime}x+u=1+u\Rightarrow du=\frac{dx}{x},
$$

que, após integração, resulta em
$$
u=\ln x+C.
$$

Retornando à variável \(y\) inicial
$$
y=ux=xlnx+Cx,
$$

que é a solução procurada.

No exemplo acima, como acontece em muitos casos, foi possível escrever a equação diferencial sob a forma
$$
y^{\prime}=g\left(\frac{y}{x}\right).
$$

Neste caso, a escolha
$$
u=\frac{y}{x},\,\,\,y^{\prime}=u^{\prime}x+u
$$

transforma a equação diferencial em
$$
u^{\prime}x+u=g(u)
$$

que é separável:
$$
\frac{du}{g(u)-u}=\frac{dx}{x}.
$$

No entanto esta não é a única mudança de variáveis possível, como veremos nos exemplos a seguir.

Exemplo 5. Para resolver a seguinte equação diferencial
$$
(x+1)(y^{\prime}-1)=2(y-x)
$$

introduziremos a nova variável \(u=y-x\). Neste caso temos
$$
y=u+x\Rightarrow y^{\prime}=u^{\prime}+1.
$$

Substituindo na equação (5) e fazendo os devidos cancelamentos temos
$$
(x+1)u^{\prime}=2u\Rightarrow\frac{du}{u}=\frac{2dx}{x}.
$$

Integrando obtemos
$$
ln\,u=2\ln(x+1)+c.
$$

Como uma revisão da álgebra envolvida, faremos com algum detalhe as etapas finais deste problema. Tomando a exponencial dos dois lados da equação anterior temos
$$
u=e^{2\ln(x+1)+c}=C(e^{\ln(x+1)})^{2}=C(x+1)^{2},
$$

onde denotamos \(C=e^{c}\). A solução é
$$
y=C(x+1)^{2}+x,
$$

depois que retornamos para a variável \(y=u+x\).

Exemplo 6. A equação diferencial
$$
xy^{\prime}=e^{-yx}-y
$$
pode ser resolvida através da mudança de variáveis \(y\rightarrow v\) onde \(v=xy\). Com esta escolha temos \( y=\frac{v}{x}\) e, consequentemente,
$$
y^{\prime}=\frac{v^{\prime}x-v}{x^{2}}\Rightarrow xy^{\prime}=\frac{v^{\prime}x-v}{x}
$$

Substituindo na equação (6) temos
$$
\frac{v^{\prime}x-v}{x}=e^{-v}-\frac{v}{x}\Rightarrow v^{\prime}=e^{-v}\Rightarrow e^{v}dv=dx.
$$

Podemos agora integrar os dois lados da equação para obter
$$
e^{v}=x+c\Rightarrow v=\ln(x+c).
$$

Dai encontramos
$$
y(x)=\frac{1}{x}\ln(x+c),
$$

a solução de (6).

Exemplo 7. A equação diferencial
$$
y^{\prime}=\frac{y^{2}+2xy}{x^{2}}=\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{2y}{x}
$$

pode ser transformada em separável por meio da substituição \(y\rightarrow u\) onde \(u=y/x\). Com esta escolha temos
$$
y=ux\Rightarrow y^{\prime}=u^{\prime}x+u,
$$

e a equação diferencial se torna
$$
u^{\prime}x=u^{2}+u.
$$

Separando as variáveis \(u\) e \(x\) e integrando obtemos
$$
\int\frac{du}{u^{2}+u}=\int\frac{dx}{x}.
$$

Pelo método das frações parciais (consulte o Apêndice para uma revisão sobre as frações parciais) podemos escrever
$$
\frac{1}{u(u+1)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1},
$$

e, portanto, a primeira integral pode ser avaliada:
$$
\int\frac{du}{u(u+1)}=\int\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\right)du=lnu-\ln(u+1)=\ln\left(\frac{u}{u+1}\right).
$$

A solução do problema é dada por
$$
\ln\left(\frac{u}{u+1}\right)=\ln x+c.
$$

Para explicitar a função \(u(x)\) tomamos a exponencial de ambos os lados,
$$
\frac{u}{u+1}=Cx,
$$

onde \(C=e^{c}\), ou, em termos da função \(y(x)\) original,
$$
Cx=\frac{y}{y+x}.
$$

Resolvendo para \(y\) obtemos
$$
y(x)=\frac{Cx^{2}}{1-Cx},
$$
que é a solução de (7).

Exercícios 2

Resolva as equações abaixo. Use a transformação \(u=y/x,\) quando não houver outra sugestão.

1. \(2xyy^{\prime}-y^{2}+x^{2}=0\)

2. \((2x-4y+5)y^{\prime}+x-2y+3=0\), (faça \(u=x-2y+3)\)

3. \(xy^{\prime}={xe}^{-y/x}+y\)

4. \(xy^{\prime}+y+2x=0\)

5. \(x^{2}y^{\prime}+xy=x^{2}+y^{2}\)

6. \(2xyy^{\prime}=3y^{2}+x^{2}\)

7. \(xy^{\prime}-y-(y-x)^{3}=0\)

8. \(y^{\prime}=\frac{y-x}{y+x},\)

9. \(y^{\prime}=\frac{y-x}{y+x+2}\), (faça \(u=y-x\).

10. \((x+1)(y^{\prime}-1)=2(y-x),y(0)=10\). (faça \(y-x=v\)).

11. \(xy^{\prime}=e^{-xy}-y\). (faça \(yx=v\)).

Algumas soluções:

2. \(4x+8y+\ln(4x-8y+11)=c \)	5. \(y=x+x/(c-\ln x)\)
7. \(y=x+x(c-x^{2})^{-1/2}\)	8. \(\ln(x^{2}+y^{2})+2\text{ artg }(y/x)=c \)
11. \(y=x+c(x+1)^{2}\)

Equações Diferenciais Exatas

Para a técnica que se segue é conveniente relembrar o conceito de diferencial de uma função de duas variáveis \(\psi(x,y)\). Para obter uma notação mais compacta usaremos a convenção de denotar derivadas parciais como
$$
\frac{\partial\psi}{\partial x}=\psi_{x},\,\,\,\frac{\partial\psi}{\partial y}=\psi_{y},\,\,\,\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y}=\psi_{yx},
$$

e assim sucessivamente. Com esta notação a diferencial de uma função de duas variáveis pode ser escrita como
$$
d\psi=\frac{\partial\psi}{\partial x}dx+\frac{\partial\psi}{\partial y}dy=\psi_{x}dx+\psi_{y}.
$$
A diferencial representa uma medida de como a função \(\psi\) varia quando suas duas variáveis \(x\) e \(y\) variam infinitesimalmente de modo independente. Em vista desta definição vemos que a diferencial só é nula se a função \(\psi\) for uma constante, ou seja,
$$
d\psi=0\Rightarrow\psi_{x}=0,\,\,\,\psi_{y}=0\Rightarrow\psi=C,
$$

onde \(C\) é uma constante arbitrária.

Exemplo 8. A diferencial da função \(\psi(x,y)=x^{3}y^{2}+\text{ sen }\,x\) é
$$
d\psi=(3x^{2}y^{2}+\cos x)dx+(2x^{3}y)dy
$$

pois suas derivadas parcias são
$$
\psi_{x}=3x^{2}y^{2}+\cos x,\,\,\,\psi_{y}=2x^{3}y.
$$

Assim conhecemos desde já a solução da equação diferencial
$$
(3x^{2}y^{2}+\cos x)+(2x^{3}y)y^{\prime}=0,
$$

que é
$$
x^{3}y^{2}+\text{ sen }\,x=C.
$$

Considere agora uma equação diferencial que se apresenta sob a forma
$$
M(x,y)+N(x,y)y^{\prime}=0.
$$

Podemos reescrevê-la como
$$
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.
$$

Se pudermos identificar o lado esquerdo da expressão acima com a diferencial de alguma função \(\psi\) saberemos que \(d\psi=0\) e, portanto \(\psi=C\) é a solução procurada. Esta identificação é possível se existir uma função \(\psi\) tal que
$$
d\psi=Mdx+Ndy,
$$

e, portanto,
$$
M=\frac{\partial\psi}{\partial x}\equiv\psi_{x},\,\,\,\,N=\frac{\partial\psi}{\partial y}\equiv\psi_{y}.
$$

Podemos descobrir se esta função existe ou não utilizando a seguinte propriedade: se uma função de duas variáveis \(\psi\) e suas derivadas \(\psi_{x},\psi_{y}\), \(\psi_{xy}\) e \(\psi_{yx}\) são contínuas então
$$
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y\partial x}.
$$

Em notação mais compacta temos
$$
\psi_{xy}=\psi_{yx},
$$

ou, em termos das funções \(M\) e \(N\) definidas acima,
$$
M_{y}=N_{x}.
$$

Se a última identidade não é verdadeira a equação não é uma diferencial exata e o método que agora estudamos não é adequado para a sua solução⁽²⁾. Por outro lado, se a identidade \(M_{y}=N_{x}\) é verdadeira, passamos a procurar a função \(\psi\) cuja diferencial é nula. Para isto usamos
$$
M=\frac{\partial\psi}{\partial x}
$$

que permite encontrar \(\psi\) \((x,y)\) por integração na variável \(x\),
$$
\psi(x,y)=\int M(x,y)dx+h(y).
$$

A função fica conhecida exceto pela existência do termo \(h\) que depende apenas da variável \(y\). Observe que \(h(y)\) faz o papel de uma constante arbitrária em relação à derivação e integração na variável \(x\). Usamos agora a relação \(N=\psi_{x}\). Derivando a expressão (10) em relação à \(y\) devemos obter \(N\).
$$
N=\frac{\partial\psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx+h^{\prime}(y).
$$

que é uma equação diferencial de primeira ordem,
$$
h^{\prime}=N-\int M_{y}dx,
$$

que nos permite determinar a função \(h\) que é a parte que falta em nossa solução \(\psi\). Observe que o termo de integração \(h\) é de fato função de \(y\) somente pois, derivando a mesma expressão em relação a \(x\) obtemos
$$
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)=N_{x}-M_{y}=0,
$$

uma vez que a equação já foi testada como sendo exata! Portanto a solução de (10) é \(\psi(x,y)=C,\) onde \(C\) é uma constante e
$$
\psi(x,y) =\int M(x,y)dx+\int\left[N(x,y)-\int M_{y}dx\right]dy.
$$

Exemplo 9. Encontre a curva que passa pelo ponto \((1,0)\) e tem inclinação \(y^{\prime}=(1-x)/(1+y)\).

Vamos resolver este problema de valor de contorno pelo método da diferencial exata. Para isto escrevemos a equação sob a forma \(Mdx+Ndy=0\), obtendo
$$
(x-1)dx+(1+y)dy=0.
$$

Identificando \(M\) e \(N\) temos
$$
M=x-1, \;\;M_{y}=0; \;\; N=1+y, \;\;N_{x}=0 \Rightarrow M_{y}=N_{x}
$$

ou seja, verificamos que a equação é uma diferencial exata. Para encontrar \(\psi\) fazemos
$$
\psi=\int Mdx+h(y)=\int(x-1)dx+h(y)=\frac{x^{2}}{2}-x+h(y).
$$

Podemos obter a função \(h(y)\), até aqui desconhecida, derivando em \(y\) a expressão acima e usando \(\psi_{y}=N\).
$$
h^{\prime}(y)=1+y\Rightarrow h(y)=\int(1+y)dy=\left(\frac{y^{2}}{2}+y\right).
$$

Assim encontramos a função \(\psi\) completa. Sabemos que ela é uma constante porque possui diferencial nulo, ou seja
$$
\psi=\frac{x^{2}}{2}-x+\frac{y^{2}}{2}+y=c^{\prime},
$$

ou seja,
$$
x^{2}-2x+y^{2}+2y=c
$$

onde \(c=2c^{\prime}\). Para que a curva passe pelo ponto \((1,0)\) devemos inserir \(x=1\) e \(y=0\) na expressão acima, obtendo um valor para a constante \(c\),
$$
c=1-2=-1\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x+2y+1=0.
$$

Para escrever esta solução em uma forma mais familiar podemos completar quadrados,
$$
(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1,
$$

e descobrimos que o problema do exemplo 9 tem como solução a circunferência com centro em \((1,-1)\) e raio \(1\). A equação (12) é um exemplo de solução implícita para uma equação diferencial. Derivando implicitamente³ esta solução obtemos
$$
2(x-1)+2(y+1)y^{\prime}=0\Rightarrow y^{\prime}=\frac{1-x}{1+y},
$$

o que confirma que essa é a solução correta para o problema!

Exemplo 10. Verifique se a equação diferencial a seguir é exata e, em caso afirmativo, resolva a equação
$$
(e^{x}\text{ sen }\,y-2y\text{ sen }\,x)+(e^{x}\cos y+2\cos x)y^{\prime}=0.
$$

Reescrevemos a equação como
$$
(e^{x}\text{ sen }\,y-2y\text{ sen }\,x)dx+(e^{x}cosy+2\cos x)dy=0,
$$

e realizamos o teste para descobrir se a equação é exata ou não. Neste caso temos
$$
M= e^{x}\text{ sen }\,y-2y\text{ sen}\,x \Rightarrow M_{y}= e^{x}\cos y-2\text{ sen }\,x
$$
$$
N= e^{x}\cos y+2\cos x \Rightarrow N_{x}= e^{x}\cos y-2\text{ sen}\,x,
$$

de onde vemos que \(M_{y}=N_{x}\) e que a equação é exata. Neste caso existe uma função \(\psi\) que satisfaz
$$
d\psi=\frac{\partial\psi}{\partial x}dx+\frac{\partial\psi}{\partial y}dy=Mdx+Ndy,
$$

sendo que \(d\psi=0\) decorre da equação (13). Para encontrar esta função integramos \(\psi_{x}=M\),
$$
\psi=\int Mdx+h(y)=\int(e^{x}\text{ sen }\,y-2y\text{ sen }\,x)dx+h(y)=
$$
$$
=e^{x}\text{ sen }\,y+2y\cos x+h(y).
$$

Como \(\psi_{y}=N\) então derivamos (14),
$$
\psi_{y}=e^{x}\cos y+2\cos x+h^{\prime}(y)=e^{x}\cos y+2\cos x,
$$

de onde obtemos
$$
h^{\prime}(y)=0\Rightarrow h(y)=c^{\prime},
$$

uma constante. A solução é obtida de
$$
d\psi=0\Rightarrow\psi=c,
$$

e, portanto,
$$
e^{x}\text{ sen }\,y+2y\cos x=c.
$$

Note que \(y=0\) também é solução da equação (13).

Exercícios 3

Determine as diferenciais das funções:1. \(\psi=x^{2}+2xy^{2}-\text{ sen }\,(xy)\)

2. \(\psi=e^{x}\cos y+(x-y)^{2}\)

3. \(\psi=\ln(x^{2}+y^{2})-x^{3}+y^{3}\)

Verifique se as seguintes equações são diferenciais exatas e, se forem, determine as soluções:

4. \(4yy^{\prime}+x=0\)

5. \(y\cos(xy)dx+x\cos(xy)dy=0\)

6. \(xdy+2y^{2}dx=0\)

7. \(2\cosh xdx+\text{senh}ydy=0\)

8. \(4\text{ sen }\,ydx+x\cos ydy=0\)

9. \(\left(3x^{2}y+\frac{y}{x}\right)dx+(x^{3}+\ln x)dy=0\)

10. \((x\text{e}^{xy}+2y)y^{\prime}+y\text{e}^{xy}=0\)

11. \(\frac{\cos2y}{x}dx=2\ln x\text{ sen } 2ydy\)

Resolva os problemas de valor inicial (pelo método das diferenciais exatas):

12. \(9(y-1)dy+(x-3)dx=0,\,\,\,y(3)=0\)

13. \(+[x^{2}+\pi\cos(\pi y)]dy=0,\,\,\,y(1)=1\).

14. \((\cos x+y\text{ sen }\,x)dx=\cos xdy,\,\,\,y(\pi)=0\)

15. \(x\exp(x^{2}+y^{2})dx+y[\exp(x^{2}+y^{2})+1]dy=0,\,\,\,y(0)=0\).

Algumas soluções

1. \(\psi=[2x+2y^{2}-y\cos(xy)]dx+[4xy-x\cos(xy)]dy\)
4. \(x^{2}+4y^{2}=c\)
6. \(y=x+c(x+1)^{2}\)
8. Não é exata.
9. \(y=c/(x^{3}+\ln x)\)
10. \(e^{xy}+y^{2}=c\)
12. \(1/9(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=1\)
14. \(y=\tan x\)

Fatores Integrantes

Pode ocorrer que uma equação \(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\) não seja uma diferencial exata mas possa ser transformada em exata atraves da multiplicação por um fator \(\mu(x,y)\neq0\). Neste caso buscamos encontrar o fator \(\mu\) de forma que \(\mu M(x,y)dx+\mu N(x,y)dy=0 \) seja uma diferencial exata. \(\mu(x,y)\) é denominado de fator integrante.

Exemplo 11. A diferencial \(xdy-ydx=0 \) não é exata pois
$$
M= -y;\,\,\, N= x \Rightarrow M_{y}= -1 \,\,\, N_{x}= 1 \Rightarrow M_{y}\neq N_{x}.
$$

Multiplicando a expressão (15) por
$$
\mu(x,y)=\frac{1}{x^{2}}
$$

ela se transforma em uma diferencial exata pois a diferencial de \(d(y/x)\) é exatamente
$$
d\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{xdy-ydx}{x^{2}}=\mu(xdy-ydx).
$$

A solução da equação acima é, portanto,
$$
\frac{y}{x}=a\Rightarrow y=ax,
$$

que é a equação de uma reta com inclinação indeterminada \(a\) e que passa pela origem.

Naturalmente precisamos de uma técnica para encontrar o fator integrante \(\mu\). Para isto voltamos ao problema geral. Queremos examinar sob que situação existe um fator \(\mu\) tal que

$$
\mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy=0
$$
seja uma diferencial exata. Realizando o teste, tal como fizemos na seção anterior, vemos que (16) é exata se
$$
(\mu M)_{y}=(\mu N)_{x}.
$$

Usando a regra da derivada do produto temos
$$
\mu_{y}M+\mu M_{y}=\mu_{x}N+\mu N_{x}.
$$

A condição para que (16) seja exata é
$$
M\mu_{y}-N\mu_{x}+(M_{y}-N_{x})\mu=0,
$$

uma equação diferencial parcial de difícil solução, no caso mais geral. Não é raro, no entanto, que se possa tomar um fator integrante função de apenas uma das variáveis, o que torna o tratamento do problema bem mais simples. Suponha que \(\mu\) é função de \(x\) apenas⁴. Neste caso, \(\mu_{y}=0\) e a expressão (17) é uma equação ordinária separável para \(\mu\).
$$
\frac{d\mu}{dx}=\frac{M_{y}-N_{x}}{N}\mu.
$$
Observe que o coeficiente de \(\mu\) na equação acima deve ser uma função de \(x\) apenas. Caso contrário a equação (18) não é válida. Desta forma podemos encontrar o fator integrante resolvendo a equação (17), ou seja,
$$
\mu(x)=C\exp\left[\int\frac{M_{y}-N_{x}}{N}dx\right].
$$

Agora \(\mu_{x}=0\) e a expressão (17) nos leva à expressão:
$$
\frac{d\mu}{dy}=\frac{N_{x}-M_{y}}{M}\mu,
$$
com solução
$$
\mu(y)=C\exp\left[\int\frac{N_{x}-M_{y}}{M}dy\right].
$$

Em qualquer um dos casos a constante \(C\) acima não afeta a solução da equação diferencial e, por isto, tomaremos sempre \(C=1\). Encontrado \(\mu\) multiplicamos a equação diferencial por este fator obtendo uma diferencial exata
$$
\mu Mdx+\mu Ndy=\bar{M}dx+\bar{N}dy=0,
$$

onde denotamos \(\bar{M}=\mu M\) e \(\bar{N}=\mu N\), e prosseguimos da mesma forma feita na seção anterior. Embora a nova equação seja uma diferencial exata por construção, é útil verificar que
$$
\bar{M}_{y}=\bar{N}_{x}.
$$

Em seguida encontramos \(\psi\), usando \(\psi_{x}=\bar{M}\),
$$
\psi(x,y)=\int\bar{M}dx+h(y)
$$

e a relação \(\psi_{y}=\bar{N}\) para determinar \(h(y)\) na equação diferencial
$$
\psi_{y} =\frac{\partial}{\partial y}\int\bar{M}dx+h^{\prime}(y).
$$

Exemplo 12. A seguinte equação diferencial,
$$
4xydx+\frac{3}{2}x^{2}dy=0,
$$

não é uma diferencial exata pois
$$
M=4xy\;\;M_{y}=4x;\;\;\;N=\frac{3}{2}x^{2},\; N_{x}=3x \Rightarrow M_{y}\neq N_{x}.
$$

Vamos então determinar o fator integrante para transformá-la em uma equação exata. Este fator deve satisfazer a equação
$$
\mu_{x}=\frac{M_{y}-N_{x}}{N}\mu\Rightarrow\mu_{x}=\frac{2}{3x}\mu,
$$

que é uma equação diferencial separável e de fácil solução,
$$
\frac{1}{\mu}d\mu=\frac{2}{3x}dx,
$$

portanto
$$
\ln\mu=\frac{2}{3}\ln x\Rightarrow\mu=x^{2/3}.
$$

A nova equação diferencial, que deve ser uma diferencial exata, é
$$
x^{2/3}\left(4xydx+\frac{3}{2}x^{2}dy\right)=0.
$$

Usando \(\bar{M}=\mu M\) e \(\bar{N}=\mu N\) observamos que agora temos, de fato, uma diferencial exata pois
$$
\bar{M}=4x^{5/3}y,\;\; \bar{M}_{y}=4x^{5/3}; \;\;\;\bar{N}=\frac{3}{2}x^{8/3},\;\;\bar{N}_{x}=4x^{5/3}\Rightarrow\bar{M}_{y}=\bar{N}_{x}.
$$

Para encontrar \(\psi\) prosseguimos como na seção anterior:
$$
\psi=\int\bar{M}dx+h(y)=4y\int x^{5/3}dx+h(y)=\frac{3}{2}{yx}^{8/3}+h(y),
$$

$$
\psi_{y}=\frac{3}{2}x^{8/3}+h^{\prime}(y)=\bar{N}=\frac{3}{2}x^{8/3}
$$

$$
h^{\prime}(y)=0\Rightarrow h(y)=c_{1}.
$$

Dai, já que \(d\psi=0\), sabemos que \(\psi=c_{2}\), uma outra constante e, portanto
$$
\psi=c_{2}=\frac{3}{2}yx^{8/3}+c_{1}\Rightarrow y=Cx^{-8/3},
$$

onde \(C=2(c_{1}-c_{2})/3.\) Observe que este exemplo foi feito desta forma, procurando-se um fator integrante para transformar a equação em uma diferencial exata, como um exercício. É claro que a mesma solução poderia ser encontrada de modo mais simples notando-se que a equação em questão é diretamente separável:
$$
4xydx+\frac{3}{2}x^{2}dy=0\Rightarrow y^{\prime}=-\frac{8y}{3x},
$$

$$
\frac{y^{\prime}}{y}=-\frac{8}{3x}\Rightarrow y=Cx^{-8/3}.
$$

Exemplo 13. Dada a equação diferencial
$$
\frac{y}{x}+2y^{\prime}\ln x=0,
$$

verificamos que esta não é uma diferencial exata. Para este problema temos
$$
M=\frac{y}{x},\;\; M_{y}=\frac{1}{x};\;\;\;N=2\ln x,\;\;N_{x}=\frac{2}{x} \Rightarrow M_{y}\neq N_{x}.
$$

Vamos procurar, neste caso, um fator integrante dependente de \(y\) apenas. Uma solução dependente de \(x\) é também possível mas um pouco mais complicada, como o leitor pode verificar. Temos então
$$
\mu_{y}=\frac{N_{x}-M_{y}}{M}\mu=\frac{\mu}{y}
$$

com solução \(\mu=y\), a menos de uma constante multiplicativa. A equação diferencial multiplicada por \(\mu\) é
$$
\frac{y^{2}}{x}dx+2y\ln xdy=0,
$$

que é uma diferencial exata pois
$$
\bar{M}=y^{2}/x,\;\; \bar{M}_{y}=2y/x;\;\;\;\bar{N}=2y\ln x,\;\;\bar{N}_{x}=2y/x \Rightarrow\bar{M}_{y}=\bar{N}_{y}.
$$

Temos então que
$$
\psi=\int\bar{M}dx+h(y)=y^{2}\ln x+h(y),
$$

$$
\psi_{y}=\bar{N}\Rightarrow h^{\prime}(y)=0\Rightarrow h(y)=c_{1}.
$$

Lembrando que \(d\psi=0\), temos a solução
$$
\psi=y^{2}\ln xy+c_{1}=c_{2},
$$

ou, simplesmente, fazendo \(C=\sqrt{c_{2}-c_{1,}}\)
$$
y(x)=\pm\frac{C}{\sqrt{\ln x}}.
$$

Exercícios 4

Determine os fatores integrantes e resolva pelo método da diferencial exata:

1. \( 2y^{2}+3xyy^{\prime}=0\)

2. \((y+1)dx-(x+1)dy=0\)

3. \( x\cos ydy-\text{ sen }\,ydx=0\)

4. \( 2xy^{\prime}=-y\)

5. \( 2xy^{\prime}=y\)

6. \( xy^{\prime}\ln x+y=0\)

7. \( \text{ sen }\,ydx+\cos ydy=0\)

8. \( 2\cos x\cos ydx-\text{ sen }\,x\text{ sen }\,ydy=0\)

Usando o mesmo método, resolva os problemas de valor inicial:

9. \( 2ydx+xdy=0,\,\,\,y(2)=-1\)
10. \( \cos ydx-\text{ sen }\,ydy=0,\,\,\,y(0)=\pi\)
11. \( 2ydx-xdy=0,\,\,\,y(1)=2\)
12. \( \cosh ydx+2x\text{ senh }ydy=0,\,\,\,y(1)=0\)

Algumas soluções

1. \( \mu=xy,\,\,\,x^{2}y^{3}=c\),	2. \( \mu=\frac{1}{(x+1)^{2}},\,\,\,y=c(x+1)-1\),
3. \( \mu=\frac{1}{x^{2}} ,\,\,\, \text{ sen } y=cx\),	5. \( \mu=\frac{1}{y^{3}},\,\,\,y=c\sqrt{x}\),
6. \( \mu=\frac{1}{x},\,\,\,y=\frac{c}{\ln x}\),	7. \( \mu=e^{x},\,\,\,e^{x}\text{ sen }\,y=c\),
9. \( \mu=x,\,\,\,x^{2}y=-4\),	10. \(\mu=e^{x},\,\,\,e^{x}{cosy}=-1\).

Exercício Resolvido:

2. Temos que \(M_{y}=1\) e \(N_{x}=-1\) portanto a diferencial não é exata. O fator integrante satisfaz
$$
\mu_{x}=\frac{(My-Nx)}{N}\mu\Rightarrow\frac{d\mu}{\mu}=-\frac{2dx}{x+1},
$$

que pode ser diretamente integrada
$$
\int\frac{d\mu}{\mu}=-\int\frac{2dx}{x+1}\Rightarrow\ln\mu=-2\ln(x+1).
$$

Tomando-se a exponencial dos lados da expressão acima temos \(\mu=(x+1)^{-2}\). Multiplicada por este fator integrante a equação se torna uma diferencial exata pois
$$
\bar{M}=\frac{y+1}{(x+1)^{2}},\,\,\,\overline{M_{y}}=\frac{1}{(x+1)^{2}},\bar{\,\,\,N}=-\frac{1}{(x+1)^ {}},\bar{\,\,\,N}_{x}=\bar{M}_{y}.
$$

Integrando \(\psi_{y}=\bar{N}\) obtemos,
$$
\psi=\int\frac{-1}{(x+1)}dy+h(x)=\frac{-y}{(x+1)}+h(x).
$$

Usamos agora a função \(\psi\) encontrada acima e sua derivada, \(\psi_{x}=\bar{M}\), para encontrar \(h(x)\),
$$
\frac{y}{(x+1)^{2}}+h'(x)=\frac{y+1}{(x+1)^{2}},
$$

ou seja
$$
h^{\prime}=\frac{1}{(x+1)^{2}}\Rightarrow h=-\frac{1}{x+1}.
$$

Sabemos agora que
$$
\psi(x,y)=-\frac{y+1}{x+1}=c,
$$

ou ainda \(y=C(x+1)-1\). Observe que, para encontrar \(\psi\), integramos primeiro em \(y\) e depois em \(x\), para encontrar \(h\). A ordem inversa poderia ter sido também escolhida e, neste caso, com o mesmo nível de dificuldade. Pode ocorrer, no entanto, que uma das abordagens leve a integrais mais simples ou diretas.

Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem

Com as técnicas que já estudamos temos condições para resolver todas as equações lineares de primeira ordem. Sob a forma mais geral elas podem ser escritas como
$$
y^{\prime}+f(x)y=r(x).
$$
Se \(r(x)=0\) a equação é dita homogênea. Já sabemos resolver, em princípio pelo menos, todas as equações homogêneas por separação de variáveis
$$
y^{\prime}+f(x)y=0\Rightarrow\frac{dy}{y}=-f(x)dx.
$$

Integrando-se esta última chegamos a
$$
y(x)=Ce^{-\int f(x)dx}.
$$

Para a não homogênea, \(r(x)\neq0\), reescrevemos a equação (20) como

$$
(fy-r)dx+dy=0
$$
que não é uma diferencial exata, mas suscetível de ser transformada em exata por meio do fator integrante \(\mu\), obtido de
$$
\frac{d\mu}{dx}=\frac{M_{y}-N_{x}}{N}\mu=f(x)\mu\Rightarrow\frac{d\mu}{\mu}=f(x)dx
$$

cuja solução é
$$
\ln\mu=\int f(x)dx\Rightarrow\mu=\exp\left(\int f(x)dx\right),
$$

onde usamos a notação \(\exp(u)=e^{u}\) para a função exponencial. Denotamos, para obter uma expressão mais condensada,
$$
h(x)=\int f(x)dx,
$$

e multiplicamos a equação (21) pelo fator integrante \(\mu=e^{h}\)
$$
e^{h}(y^{\prime}+fy)=e^{h}r.
$$
Pelo teorema fundamental do cálculo \(h^{\prime}=f\) e
$$
\frac{d}{dx}(ye^{h})=y^{\prime}e^{h}+ye^{h}h^{\prime}=e^{h}(y^{\prime}+fy)=e^{h}r,
$$

e a expressão (23) pode ser escrita como
$$
\frac{d}{dx}(ye^{h})=e^{h}r
$$

que, após integração de ambos os lados resulta em
$$
ye^{h}=\int e^{h}rdx+c.
$$

Assim acabamos de conseguir uma solução geral para todas as equações lineares de primeira ordem,

$$
y(x)=e^{-h}\left[\int e^{h}rdx+c\right],
$$
onde \(h(x)=\int f(x)dx\).

Exemplo 14. A equação diferencial linear não homogênea
$$
y^{\prime}-y=e^{2x},
$$

pode ser por aplicação direta da fórmula (24). Iniciamos por identificar os termos usados na expressão(20). Temos
$$
f(x)=-1,\,\,\,r(x)=e^{2x}
$$

e, portanto
$$
h(x)=\int-dx=-x.
$$

Usando a equação (24) chegamos a
$$
y(x)=e^{x}\left[\int e^{-x}e^{2x}dx+c\right]=Ce^{x}+e^{2x},
$$

que é a solução geral.

Exemplo 15. O problema de valor inicial
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^{y}-x},\,\,\,y(1)=0.
$$

não é linear se entendido como um equação diferencial para a função \(y(x)\). No entanto podemos igualmente tratá-lo como uma equação para a função \(x(y)\) se invertermos, provisoriamente, o papel das variáveis \(x\) e \(y\). Para isto fazemos
$$
\frac{dx}{dy}=e^{y}-x
$$

ou seja
$$
x^{\prime}+x=e^{y}.
$$

Agora identificamos
$$
f(y)=1,\;\;r(y)=e^{y};\;\;\; \text{ portanto }\; h=\int fdy=y.
$$

A solução geral é
$$
x(y)=e^{-y}\left[\int e^{y}e^{y}dy+C\right]=Ce^{-y}+\frac{1}{2}e^{y}.
$$

Para satisfazer a condição de contorno \(y(1)=0\) substituimos \(x=1\) e \(y=0\) para determinar o valor da constante \(C\),
$$
1=Ce^{0}+\frac{1}{2}e^{0}=C+\frac{1}{2}\Rightarrow C=\frac{1}{2}.
$$

A solução particular é
$$
x(y)=\frac{1}{2}(e^{-y}+e^{y})=\cosh y.
$$

Caso seja necessário a obtenção de uma relação explícita para \(y(x)\) podemos usar a função inversa do cosseno hiperbólico,
$$
y(x)=\cosh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right),
$$

válida para \(x\geq1\).

Algumas vezes uma equação diferencial pode ser manipulada e escrita sob forma mais simples, o que facilita a obtenção da solução. Isto é mostrado nos exemplos seguintes.

Exemplo 16. Vamos resolver a equação linear \(xy^{\prime}+y=\text{ sen }\,x\). Observamos primeiro que o lado esquerdo da equação é o diferencial de uma função
$$
d(xy)=(xy^{\prime}+y)dx.
$$

Portanto precisamos apenas integrar \(d(xy)=\text{ sen }\,xdx\) para obter
$$
xy=-\cos x+c
$$

ou ainda,
$$
y(x)=\frac{c}{x}-\frac{\cos x}{x}.
$$

Exemplo 17. Considere o problema de valor inicial
$$
x^{2}y^{\prime}+2xy-x+1=0,y(1)=0.
$$

Observe que
$$
\frac{d}{dx}(x^{2}y)=2xy+x^{2}y^{\prime}
$$

e, portanto, a equação diferencial pode ser reescrita como
$$
d(x^{2}y)=(x-1)dx.
$$

Integrando esta última expressão obtemos
$$
x^{2}y=\frac{1}{2}x^{2}-x+c
$$

ou seja, a solução geral é
$$
y(x)=\frac{c}{x^{2}}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}.
$$

Para satisfazer a condição inicial fazemos \(x=1\)
$$
y(1)=c-1+\frac{1}{2}=0\Rightarrow c=\frac{1}{2},
$$

e concluimos que
$$
y(x)=\frac{1}{2x^{2}}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}
$$

é a solução particular procurada.

Exercícios 5

Encontre as soluções gerais das equações lineares:

1. \( xy^{\prime}+y+4=0\)	2. \( y^{\prime}-4y=2x-4x^{2}\)
3. \( xy^{\prime}+y=2x\)	4. \( y^{\prime}-y=e^{x}\)
5. \( y^{\prime}=2x(y-x)+1\)	6. \( y^{\prime}+2y=\cos x\)
7. \( y^{\prime}-3y=\text{ sen }\,2x\)	8. \( y^{\prime}+2xy=x\)

Resolva os problemas de valor inicial:

9. \( y^{\prime}+2y=3,\,\,\,y(0)=0\)	10. \( xy^{\prime}+y=2x,\,\,\,y(1)=2\)
11. \( y^{\prime}-4y=8x^{2},\,\,\,y(0)=-\frac{1}{4}\)	12. \( y^{\prime}+5y=3e^{x},\,\,\,y(0)=1\)

Algumas soluções

1. \( y=\frac{c}{x}-4\)	2. \( y=ce^{4x}+x^{2}\)
5. \( y=ce^{x^{2}}+x\)	7. \( y=ce^{3x}-\frac{2}{13}\cos2x-\frac{3}{13}\text{ sen }\,2x\)
11. \( y=-\left(2x^{2}+x+\frac{1}{4}\right)\)	12. \( y=\frac{1}{2}(e^{-5x}+e^{x})\)

Variação de Parâmetros

Embora já tenhamos resolvido o problema geral das equações lineares de primeira ordem,
$$
y^{\prime}+f(x)y=r(x),
$$
vamos buscar uma solução alternativa para o mesmo problema denominada variação de parâmetros. Esta é uma técnica extremamente útil em diversas situações no estudo das equações diferenciais de segunda ordem e de ordens superiores e, por isto, convém aprendê-la desde já, dentro deste contexto mais simples. O método consiste em resolver primeiro a equação homogênea
$$
y^{\prime}+f(x)y=0,
$$

cuja solução, já obtida na seção anterior, passaremos a denominar de \(v\),
$$
v=Ce^{-\int f(x)dx},
$$

onde \(C\) é uma constante arbitrária. A variação de parâmetros consiste em permitir que \(C\), em vez de constante, seja uma função desconhecida, digamos
$$
C\rightarrow u(x).
$$

A solução da equação não homogênea será procurada sob a forma
$$
y(x)=u(x)v(x)
$$

que, após derivada e substituída na equação original deverá fornecer uma expressão para a determinação da função desconhecida \(u(x)\). Vamos então implementar este procedimento:
$$
y=uv\Rightarrow y^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime},
$$

onde foi usada a regra de derivação de um produto. Substituindo em (25) obtemos
$$
u^{\prime}v+uv^{\prime}+fuv=r,
$$

$$
u^{\prime}v+ u\underbrace{(v^{\prime}+fv)} =r,
$$

notando que a expressão dentro dos parênteses é nula porque \(v\) é solução da equação homogênea. Resta portanto resolver a equação separável
$$
u^{\prime}v=r\Rightarrow u^{\prime}=\frac{r}{v}\Rightarrow u=\int\frac{r}{v}dx+c.
$$

Como a solução da equação é \(y=uv\) temos então que
$$
y=v\left(\int\frac{r}{v}dx+c\right),
$$

a solução geral do problema. Claro que esta solução é idêntica à obtida descrita na seção anterior pelo método das diferenciais exatas. Basta notar que
$$
v=e^{-h}=\exp\left(-\int f(x)dx\right)
$$

é a solução da equação homogênea e portanto
$$
y(x)=e^{-h}\left[\int e^{h}rdx+c\right]
$$

é a solução geral da não homogênea, escrita da mesma forma que antes.

Exemplo 18. Resolva a equação diferencial
$$
xy^{\prime}+y+4=0.
$$

Reescrevemos a equação como
$$
y^{\prime}+\frac{y}{x}+\frac{4}{x}=0.
$$

A homogênea associada é
$$
y^{\prime}+\frac{y}{x}=0,
$$

que é separável e pode ser resolvida da seguinte forma:
$$
\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\Rightarrow\ln y=-\ln x+c\Rightarrow y=\frac{C}{x}.
$$

A variação de parâmetros consiste em tomar \(C\) como \(u\), uma função de \(x\). Procuramos então uma solução da forma
$$
y(x)=\frac{u}{x}
$$

cuja derivada, usando a regra de derivação de um quociente, é
$$
y^{\prime}=\frac{u^{\prime}x-u}{x^{2}}.
$$

Substituimos \(y\). \(y^{\prime}\) na equação diferencial para obter
$$
x\left(\frac{u^{\prime}x-u}{x^{2}}\right)+\frac{u}{x}+4=0\Rightarrow\frac{u^{\prime}x-u}{x}+\frac{u}{x}+4=0\Rightarrow u^{\prime}+4=0,
$$

ou seja
$$
u=-4x+c.
$$

A solução geral é
$$
y(x)=\frac{u}{x}=\frac{c}{x}-4.
$$

Exercícios 6

Encontre as soluções gerais, usando variação dos parâmetros:

1. \( y^{\prime}+y=2\)	2. \( (x+4)y^{\prime}+3y=3\)
3. \( y^{\prime}-y=3e^{x}\)	4. \( y^{\prime}-y=e^{x}\)

Algumas soluções:

1. \(y=ce^{-x}+2\)

3. \(y=(3x+c)e^{x}\)

Equações de Bernoulli

Nesta seção descrevemos métodos de solução para dois tipos de equações diferenciais que são não lineares no caso mais geral e que surgem no contexto de aplicações. Para ambos os casos tratamos de exemplos onde os problemas se reduzem a equações diferenciais lineares não homogêneas e, como um exercício, nós as resolvemos pelo método da variação dos parâmetros.

Uma equação de Bernoulli é uma equaçao diferencial do tipo
$$
y^{\prime}+P(x)y=Q(x)y^{n}.
$$

Se \(n=0\) ou \(n=1\) ela é uma equação linear, de primeira ordem, que pode ser tratada pelos métodos já estudados. Para \(n>1\) ela é uma equação não linear que pode, no entanto, ser transformada em uma equação linear através de uma troca de variáveis \(y\rightarrow v\), dada por \(v=y^{1-n}\), como passaremos a mostrar. Multiplicamos primeiro a equação (26) por \(y^{-n}\) obtendo
$$
y^{\prime}y^{-n}+P(x)y^{1-n}=Q(x).
$$

Fazemos agora a troca de variáveis sugerida,
$$
v=y^{1-n}\Rightarrow v^{\prime}=(1-n)y^{-n}y^{\prime}\Rightarrow y^{\prime}y^{-n}=\frac{v^{\prime}}{1-n}
$$

para chegar a
$$
\frac{v^{\prime}}{1-n}+Pv=Q,
$$

que é uma equação diferencial linear de primeira ordem, não homogênea, que pode ser resolvida por um dos dois métodos já estudados.

Exemplo 19. Vamos resolver a equação diferencial
$$
y^{\prime}-\frac{y}{x}=-\frac{y^{2}}{x}.
$$

Note que esta é uma equação diferencial de Bernoulli com
$$
n=2,\,\,\,Q(x)=P(x)=-\frac{1}{x}.
$$

Façamos então a mudança de variáveis, usando a nova variável
$$
v=y^{(1-2)}=\frac{1}{y},
$$
e sua derivada
$$
v^{\prime}=-\frac{y^{\prime}}{y^{2}}.
$$

Dividindo a equação (27) por \(y^{2}\) temos
$$
\frac{y^{\prime}}{y^{2}}-\frac{1}{xy}=-\frac{1}{x},
$$

onde substituimos a nova variável para chegar a
$$
v^{\prime}+\frac{v}{x}=\frac{1}{x}.
$$

Para resolver esta equação linear poderíamos simplesmente aplicar a equação (24) . Mas, como um exercício, nós a resolveremos pelo método da variação dos parâmetros. Para isto encontramos primeiro a solução da homogênea
$$
v^{\prime}+\frac{v}{x}=0\Rightarrow\frac{dv}{v}=-\frac{dx}{x}\Rightarrow v=\frac{C}{x}.
$$

Tentamos uma solução da não homogênea sob a forma
$$
v=\frac{u}{x},\,\,\,v^{\prime}=\frac{u^{\prime}x-u}{x^{2}}.
$$

Substituindo na equação diferencial
$$
\frac{u^{\prime}x-u}{x^{2}}+\frac{u}{x^{2}}=\frac{1}{x}\Rightarrow u^{\prime}=1\Rightarrow u=x+c,
$$

ou, em termos de \(v\),
$$
v=\frac{u}{x}=\frac{c}{x}+1.
$$

Finalmente retornamos à função \(y(x)\), relacionada a \(v\) por meio de (28),
$$
y(x)=\frac{1}{v}=\frac{x}{c+x}.
$$
Sugestão: Derive esta solução e verifique se ela satisfaz a equação (27)

Equação de Ricatti

As equações diferenciais de Ricatti são equações do tipo
$$
y^{\prime}=A(x)y^{2}+B(x)y+C(x).
$$

Podemos distinguir alguns casos:

i. Se \(A(x)=0\) a equação é linear.

ii. Se \(C(x)=0\) a equação de Ricatti se reduz a
$$
y^{\prime}-B(x)y=A(x)y^{2}
$$

que é uma equação de Bernoulli com \(n=2,\,\,P(x)=-B(x)\), \(Q(x)=A(x)\), tratada na seção anterior.

iii. No caso geral, suponha conhecida uma solução \(y_{1}\). Então a equação (29) pode ser reduzida a uma equação linear por meio de uma troca de variáveis \(y\rightarrow v\) dada por
$$
y=y_{1}+\frac{1}{v}.
$$

Para encontrar a equação linear associada derivamos \(y\),
$$
y^{\prime}=y_{1}^{\prime}-\frac{v^{\prime}}{v^{2}}
$$

e calculamos \(y^{2}\)
$$
y^{2}=\left(y_{1}+\frac{1}{v}\right)^{2}=y_{1}^{2}+2y_{1}\frac{1}{v}+\frac{1}{v^{2}}.
$$

Em seguida substituimos \(y,y^{2}\) e \(y^{\prime}\) na equação original para obter
$$
y_{1}^{\prime}-\frac{v^{\prime}}{v^{2}}=Ay_{1}^{2}+2Ay_{1}\frac{1}{v}+\frac{A}{v^{2}}+By_{1}+\frac{B}{v}+C.
$$

Observando que, como \(y_{1}\) é solução da equação de Ricatti então
$$
y_{1}^{\prime}=Ay_{1}^{2}+By_{1}+C.
$$

Cancelando estes termos na equação acima resta apenas
$$
-\frac{v^{\prime}}{v^{2}}=2Ay_{1}\frac{1}{v}+\frac{A}{v^{2}}+\frac{B}{v}
$$

ou seja
$$
v^{\prime}+(2Ay_{1}+B)v+A=0,
$$

que é uma equação linear, cuja solução sabemos calcular.

Exemplo 20. A equação diferencial
$$
y^{\prime}=(1-x)y^{2}+(2x-1)y-x.
$$
é uma equação se Ricatti onde identificamos
$$
A(x)=(1-x),\,\,\,B(x)=(2x-1),\,\,\,C(x)=-x.
$$

Sabendo que \(y_{1}=1\) é uma solução (como se pode verificar por substituição) procuramos uma solução sob a forma
$$
y=y_{1}+\frac{1}{v}=1+\frac{1}{v}.
$$

Com esta escolha para \(v\) calculamos \(y^{\prime} \text{ e } y^{2}\),
$$
y^{\prime}=\frac{v^{\prime}}{v^{2}},\,\,\,y^{2}=\left(1+\frac{1}{v}\right)^{2}=1+\frac{2}{v}+\frac{1}{v^{2}},
$$

que, após substituição na equação (30) resulta em
$$
\frac{v^{\prime}}{v^{2}}=(1-x)\left(1+\frac{1}{v}\right)^{2}+(2x-1)\left(1+\frac{1}{v}\right)-x.
$$

Simplificando esta equação obtemos a equação linear esperada,
$$
v^{\prime}+v=x-1.
$$
Mais uma vez temos que resolver uma equação não homogênea, e o faremos pelo método da variação de parâmetros. A equação homogênea e sua solução são, respectivamente,
$$
v^{\prime}+v=0,\,\,\,v=Ce^{-x}.
$$

Buscaremos então uma solução da forma
$$
v=\phi e^{-x},
$$

onde \(\phi\) é uma função de \(x\). Usamos a regra da derivada do produto para calcular
$$
v^{\prime}=\phi^{\prime}e^{-x}-\phi e^{-x}.
$$

Substituindo \(v\) e \(v^{\prime}\) na equação (31) chegamos a uma equação diferencial para \(\phi\)
$$
\phi^{\prime}e^{-x}=x-1,
$$

cuja solução é
$$
\phi=\int(x-1)e^{x}dx=e^{x}(x-1)+c.
$$

Isto representa uma solução para \(v\)
$$
v=\phi e^{-x}=(x-1)+ce^{-x},
$$

que, por sua vez, é ainda uma função auxiliar para a solução do problema. A solução final fica descrita por
$$
y=1+\frac{1}{v}=1+\frac{1}{ce^{-x}+x-1}.
$$

Exercícios 7

Resolva as equações:1. De Bernoulli: \(y^{\prime}+\frac{y}{x}=xy^{2}\).

2. De Bernoulli: \(y^{\prime}=y(xy^{3}-1)\).

3. De Ricatti: \(y^{\prime}=2-2xy+y^{2}\), observando que \(y_{1}=2x\) é uma solução.

4. De Ricatti: \(y^{\prime}=-\frac{4}{x^{2}}-\frac{1}{x}y+y^{2},\,\,\,y_{1}=\frac{2}{x}\).

Método Iterativo de Picard

Vimos, nas seções anteriores, que uma equação diferencial linear de primeira ordem sempre admite solução. Estudamos também algumas técnicas de solução que podem ser usadas para equações não lineares, por exemplo, as diferenciais exatas. No entanto, se uma equação diferencial não se apresenta sob formas conhecidas sua solução pode ser bastante difícil e existem equações que não podem ser resolvidas por nenhum dos métodos padronizados. Por outro lado, em diversas aplicações, uma solução aproximada talvez seja suficiente. Além disto, do ponto de vista teórico, o simples conhecimento de que existe uma solução pode ser útil. O método iterativo de Picard é uma forma de se obter soluções com a aproximação que se fizer necessária.

Pretendemos resolver um problema de valor inicial do tipo
$$
y^{\prime}=f(x,y),\,\,\,y(x_{0})=y_{0}.
$$
Pelo tereoma fundamental do cálculo sabemos que
$$
y(x)=\int_{x_{0}}^{x}f[t,y(t)]dt+y_{0},
$$
como pode ser facilmente verificado:
$$
y(x_{0})=y_{0},
$$

$$
y^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\left\{ \int_{x_{0}}^{x}f[t,y(t)]dt+y_{0}\right\} =f(x,y).
$$

Podemos obter uma primeira aproximação para a solução da equação (32) fazendo \(y_{1}=y_{0}\) na integral (33)
$$
y_{1}(x)=\int_{x_{0}}^{x}f[t,y_{0}]dt+y_{0}.
$$

Uma segunda aproximação é obtida tomando \(y=y_{1}\),
$$
y_{2}(x)=\int_{x_{0}}^{x}f[t,y_{1}(t)]dt+y_{0},
$$

e assim sucessivamente, através de passos iterativos que fornecem uma solução cada vez mais precisa. No n-ésimo passo temos
$$
y_{n}(x)=\int_{x_{0}}^{x}f[t,y_{n-1}(t)]dt+y_{0}.
$$

Pode-se mostrar que a sequência
$$
y_{1}(x),\,\,\,y_{2}(x),\cdots,\,\,\,y_{n}(x),\cdots
$$

converge para \(y(x)\) sob condições bastante gerais.

Exemplo 21. Considere o problema de valor inicial, cuja solução conhecemos,
$$
y^{\prime}=y,\,\,\,y(0)=1.
$$

Observe primeiro que
$$
y_{0}=1,\,\,\,x_{0}=0,\,\,\,f(x,y)=y,\,\,\,f(t,y_{0})=y_{0}=1.
$$

Pela fórmula (33), em primeira aproximação
$$
y_{1}(x)=\int_{0}^{x}dt+1=x+1.
$$

Etapas sucessivas fornecem
$$
y_{1}(x)=\int_{0}^{x}(t+1)dt+1=\frac{x^{2}}{2}+x+1,
$$

$$
y_{2}(x)=\int_{0}^{x}\left(\frac{t^{2}}{2}+t+1\right)dt+1=\frac{x^{3}}{2.3}+\frac{x^{2}}{2}+x+1,
$$

$$
y_{3}(x)=\int_{0}^{x}\left(\frac{t^{3}}{2.3}+\frac{t^{2}}{2}+t+1\right)dt+1=\frac{x^{4}}{2.3.4}+\frac{x^{3}}{2.3}+\frac{x^{2}}{2}+x+1,
$$

o que já nos permite prever qual será o n-ésimo passo:
$$
y_{n}(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}\frac{x^{4}}{4!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}.
$$

Esta sequência de funções tende a
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=e^{x},
$$

que, como já sabíamos, é a solução para o problema proposto. Neste caso a seqüência converge para uma função elementar cuja expansão de Maclaurin⁵ é conhecida.

Exemplo 22. Vamos aplicar o método de Picard ao problema
$$
y^{\prime}=2xy+1,\,\,\,y(0)=0.
$$

Identificando os termos necessários ao desenvolvimento
$$
y_{0}=0,\,\,\,x_{0}=0,\,\,\,f(x,y)=2xy+1,\,\,\,f(t,y_{0})=2ty_{0}+1=1,
$$

podemos encontrar em primeira aproximação
$$
y_{1}(x)=\int_{0}^{x}dt=x.
$$

Observando que
$$
f[t,y_{1}(t)]=f[t,t]=2t^{2}+1
$$

encontramos nas iterações seguintes
$$
y_{2}(x) =\int_{0}^{x}(2t^{2}+1)dt=\frac{2x^{3}}{3}+x,
$$
$$
f[t,y_{2}(t)]=2t\left(\frac{2t^{3}}{3}+t\right)+1=\frac{4t^{4}}{3}+2t^{2}+1,
$$
$$
y_{3}(x)=\int_{0}^{x}\left(\frac{4t^{4}}{3}+2t^{2}+1\right)dt=\frac{4x^{5}}{3.5}+\frac{2x^{3}}{3}+x,
$$
$$
f[t,y_{3}(t)]=2t\left(\frac{4t^{5}}{3.5}+\frac{2t^{3}}{3}+t\right)+1=\frac{8x^{6}}{3.5}+\frac{4x^{4}}{3}+2x^{2}+1
$$
$$
y_{4}(x)=\int_{0}^{x}\left(\frac{8t^{6}}{3.5}+\frac{4t^{4}}{3}+2t^{2}+1\right)dt=\frac{8x^{7}}{3.5.7}+\frac{4x^{5}}{3.5}+\frac{2x^{3}}{3}+x.
$$

Vemos que a cada nova iteração acrescentamos um termo à nossa solução aproximada. A solução exata é a série
$$
y(x)=x+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{2^{2}x^{5}}{3.5}+\frac{2^{3}x^{7}}{3.5.7}+\cdots
$$

Fica como um exercício, proposto na lista abaixo, a demonstração de que esta série é a expansão de Maclaurin da função
$$
y(x)=e^{x^{2}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt.
$$

Exercícios 8

Use o método de Picard para determinar soluções aproximadas de:

1. \(y^{\prime}=1+y^{2},\,\,\,y(0)=0\)	2. \(y^{\prime}=2xy, \,\,\,y(0)=1\)
3. \(y^{\prime}=x+y, \,\,\,y(0)=1\)	4. \(y^{\prime}=x+y, \,\,\,y(0)=-1\)
5. \(y^{\prime}=xy, \,\,\,y(0)=2\)	6. \(y^{\prime}=2y, \,\,\,y(0)=-1 \)
7. \(y^{\prime}-xy-2x+x^{3}=0, \,\,\,y(0)=0\)	8. \(y^{\prime}-2xy+1=0, \,\,\,y(0)=0 \)
9. \(y^{\prime}=xy+1, \,\,\,y(0)=0\)	10. \(y^{\prime}+y^{2}-x=0, \,\,\,y(0)=0,5\)

11. Mostre que a série, solução do exemplo 2, é a expansão de Maclaurin da função \(y(x)=e^{x^{2}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt\).

Existência e Unicidade

Um problema importante associado às equações diferenciais é o que se refere a existência e unicidade das soluções. Sob que condições um problema de valor inicial
$$
y^{\prime}=f(x,y),\,\,\,y(x_{0})=y_{0}
$$

admite uma solução e quando esta solução é única? As respostas para estas perguntas estão nos dois teoremas seguintes.

Teorema 1. (Existência): Se \(f(x,y)\) é contínua em todos os pontos do retângulo
$$
R=\left\{ \left(x,y\right)\in R^{2},\,\,\left|x-x_{0}\right| \lt a,\,\,\left|y-y_{0}\right|\lt b\,\right\}
$$

sendo, portanto, limitada em \(R\), ou seja, \(|f(x,y)|\leq K\) em \(R\), então o problema de valor inicial (34) possui pelo menos uma solução definida, no mínimo, para todo \(x\) no intervalo \(|x-x_{0}|\lt m\), onde \(m\) é o menor entre os dois valores \(a\) e \(b/K\).

Observe que esta solução pode ser obtida pelo método iterativo de Picard, como o limite da sequência \(y_{0,}\,y_{1},\,y_{2},\cdots, \, y_{n}\), onde
$$
y_{n}(x)=\int_{x_{0}}^{x}f[t,y_{n-1}(t)]dt+y_{0}.
$$

Figura 2:
\(\left\{ \left(x,y\right)\in R^{2},\,\,\left|x-x_{0}\right| \lt a,\,\,\left|y-y_{0}\right| \lt b\right\} \).

Teorema 2. (Unicidade): Se \(f(x,y)\) e \(f_{y}\) são funções contínuas em \(R\) (portanto limitadas) i. e.,
$$
\left|f(x,y\right|\leq K,\,\,\:\left|f_{y}\right|\leq K
$$
para pontos em \(R\), então o problema de valor inicial (34) admite uma única solução definida, no mínimo, em todo \(x\), \(|x-x_{0}|\lt m\).

Os dois teoremas juntos garantem que, dadas as condições enunciadas, existe uma única solução para o problema em (34). A demonstração destes teoremas está além do escopo deste texto.