Introdução

Equações diferenciais são equações que envolvem uma função desconhecida de uma ou mais variáveis, e suas derivadas. Para uma função real de uma única variável, \(y=y(x)\), podemos expressar estas equações sob a forma geral de
$$
F(x,\,y,\,y^{\prime},\,y^{\prime\prime},\ldots,\,y^{(n)})=0,
$$

onde usamos a notação
$$
y^{\prime}=\frac{dy(x)}{dx},\,\,\,y^{\prime\prime}=\frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}},\ldots,\,\,\,y^{(n)}=\frac{d^{n}y(x)}{dx^{n}}.
$$

As equações que envolvem derivadas em apenas uma variável são chamadas equações diferenciais ordinárias. Caso contrário, equações que envolvem derivadas em mais de uma variável são chamadas de equações diferenciais parciais. Para não sobrecarregar a notação, sempre que não houver risco de ambiguidade, escreveremos apenas \(y\) em lugar de \(y(x),\,\,\,y^{\prime}\) em lugar de \(y^{\prime}(x)\) ou \(dy(x)/dx,\) e assim por diante.

Estas equações representam uma parte da matemática muito utilizada em aplicações na física, na engenharia e diversas outras áreas do conhecimento. A absoluta maioria das leis da física são expressas por meio de equações diferenciais, como por exemplo a lei de Newton \(F=ma\), ou as equações de Maxwell para o eletromagnetismo.

Alguns exemplos podem ajudar a esclarecer os conceitos envolvidos:

Exemplo 1. Que função é idêntica à sua própria derivada? A resposta para esta pergunta é a solução da equação diferencial \(y’=y\). Ora, podemos nos lembrar, sem o uso de nenhuma técnica de solução, que a função \(y(x)=e^{x}\) satisfaz este requisito. Observe que a resposta mais geral é \(y(x)=Ce^{x}\), onde \(C\) é uma constante qualquer.

No exemplo anterior, encontramos não apenas uma mas infinitas soluções para a equação proposta. Uma constante de integração está sempre presente na solução de uma equação diferencial de primeira ordem. Como veremos existem várias técnicas para se encontrar soluções de equações como a do exemplo 1. Uma solução de uma equação diferencial é uma função que, quando substituída na equação original, a transforma em uma identidade.

Exemplo 2. Qual é a solução (ou soluções, se existirem mais de uma) de \(y^{\prime\prime}+y=0\)?

Conhecemos duas funções elementares que satisfazem esta equação: \(y_{1}=\text{sen}\,x\) e \(y_{2}=\cos x\). Verifique, derivando duas vezes e substituindo na equação diferencial que
$$
y(x)=C_{1}\text{sen}\,x+C_{2}\cos x
$$

onde \(C_{1}\) e \(C_{2}\) são constantes arbitrárias, é solução.

Exemplo 3. Vamos procurar a equação de movimento para uma partícula submetida a uma aceleração constante \(g\). Iniciamos por descrever a posição da partícula como \(x(t)\), onde a variável independente agora é \(t\), o tempo. Usaremos a notação inventada por Newton que consiste em representar a derivada em relação ao tempo por meio de um ponto sobre a quantidade derivada. Assim sua velocidade é a derivada primeira
$$
\frac{d}{dt}x(t)=\dot{x}(t)
$$

enquanto a aceleração é a derivada segunda
$$
\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)=\ddot{x}(t).
$$

A segunda lei nos diz que
$$
F=ma\Rightarrow mg=m\ddot{x}\Rightarrow\ddot{x}=g.
$$

Resolvendo primeiro para a velocidade temos que
$$
\dot{x}(t)=gt+c_{1},
$$

onde \(c_{1}\) é uma constante qualquer, notando que esta é a expressão mais geral da função que, quando derivada em relação à \(t\), resulta na constante \(g\). Já a posição da partícula é dada pela função primitiva que, ao ser derivada, resulta na velocidade acima,
$$
x(t)=\frac{1}{2}gt^{2}+c_{1}t+c_{2}
$$

como pode ser verificado diretamente, por dupla derivação e substituição na equação inicial. Podemos ainda utilizar este exemplo para esclarecer um pouco mais sobre o papel das constantes de integração,
\(c_{1}\) e \(c_{2}\). No instante \(t=0\) temos que
$$
\dot{x}(0)=c_{1},\,\,\,x(0)=c_{2},
$$

o que mostra que \(c_{1}\) é velocidade inicial da partícula enquanto \(c_{2}\) é sua posição inicial. Isto reflete um fato físico: para descrever completamente a posição de uma partícula submetida a uma aceleração \(g\) é necessário fornecer sua posição e velocidade iniciais. Renomeando \(c_{1}=v_{0},\,\,\,c_{2}=x_{0}\), respectivamente velocidade e posição iniciais, podemos escrever
$$
x(t)=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}gt^{2},
$$

que é a conhecida expressão para o movimento uniformemente acelerado.

Exemplo 4. As equações diferenciais surgem com freqüência em problemas de geometria. Por exemplo, a equação da circunferência com centro na origem e raio \(r\) é
$$
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
$$

Considerando \(y\) uma função de \(x\) e fazendo a derivação implícita da expressão acima em relação a \(x\) obtemos
$$
x+yy^{\prime}=0,
$$

ou seja,
$$
y^{\prime}=-\frac{x}{y},
$$

que é a equação diferencial cuja solução é a equação da circunferência. Observe que \(y^{\prime}\) é a inclinação da curva em cada ponto e que o raio não aparece nesta equação. Ele fica determinado pelas condições de contorno, como veremos mais tarde.

Classificações e Definições

Equações Ordinárias e Parciais

Já vimos que as equações diferenciais ordinárias são aquelas que envolvem apenas derivadas em uma variável independente. Todos os exemplos acima são de equações ordinárias. Existem também as equações diferenciais parciais que surgem em muitas áreas da ciência. São exemplos de equações parciais:

(a) equação de onda em uma dimensão,
$$
\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}},
$$

onde \(u\) representa um deslocamento no meio de propagação ou vetor de onda, para o caso em que não existe um meio de propagação, como ocorre com as ondas eletromagnéticas. Pode-se mostrar que \(c\) é a velocidade de propagação da onda.

(b) a equação de difusão do calor
$$
\frac{\partial T(x,t)}{\partial t}=k\frac{\partial^{2}T(x,t)}{\partial x^{2}},
$$

onde \(T\) é a temperatura e \(k\) uma constante que depende do material por onde o calor se difunde.

(c) em três dimensões, o potencial elétrico descrito por \(\phi(x,y,z)\) satisfaz a equação de Laplace
$$
\nabla^{2}\phi=0
$$

na ausência de cargas elétricas, onde \(\nabla^{2}\) é o Laplaciano. Em coordenadas cartesianas,
$$
\nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}.
$$

Na presença de cargas elétricas o potencial satisfaz a equação de Poisson
$$
\nabla^{2}\phi=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}},
$$

onde \(\rho\) é a distribuição de cargas e \(\varepsilon_{0}\) uma constante característica do meio.

Estes exemplos ilustram a existência das equações parciais e não podem ser plenamente compreendidos por enquanto. Neste curso trataremos apenas das equações diferenciais ordinárias, e não das diferenciais parciais. No entanto elas são frequentemente resolvidas através de uma separação de variáveis que as transformam em um sistema de equações ordinárias, de forma que as técnicas aqui estudadas são importantes para as suas soluções.

Ordem de uma Equação Diferencial

A ordem de uma equação diferencial é definida como sendo a derivada de maior ordem que nela aparece. Equações de primeira ordem contém apenas a derivada primeira, de segunda ordem a derivada segunda e assim por diante. Equações de primeira e segunda ordem são as mais comuns em aplicações na física e na engenharia. A equação do exemplo 4,
$$
y^{\prime}=-\frac{x}{y},
$$

é de primeira ordem, enquanto no exemplo 3, a equação de Newton, envolve uma equação de segunda ordem,
$$
\ddot{x}=g.
$$

A equação
$$
y^{\prime\prime\prime}+y=0
$$
é uma equação de terceira ordem.

Equações lineares e não lineares

Se uma equação diferencial pode ser escrita sob a forma
$$
a_{0}y+a_{1}y’+a_{2}y^{\prime\prime}+a_{3}y^{\prime\prime\prime}+\cdots a_{n}y^{(n)}=r(x),
$$

onde \(a_{i}\,\,(i=0,1,2,…)\) são constantes, então ela é dita uma equação linear. Caso contrário ela é não linear. As equações diferenciais
$$
y^{\prime\prime}+2y’+y=0,
$$

$$
3y^{\prime}+2y=1
$$

são lineares, enquanto
$$
y^{\prime}+y^{2}=0,
$$

$$
yy^{\prime\prime}+y’=0
$$

são não lineares. Equações não lineares são, em geral, mais difíceis de serem resolvidas.

Exemplo 5. Uma situação interessante onde aparece uma equação não linear é o que descreve o movimento do pêndulo simples. Denotando por \(\theta(t)\) o ângulo que o pêndulo faz com a vertical então a evolução temporal deste ângulo é descrita pela equação
$$
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{l}\text{sen}\,\theta=0,
$$

onde \(g\) é a aceleração da gravidade e \(l\) o comprimento do pêndulo. Se o pêndulo oscila com baixa amplitude em torno da posição de repouso então podemos fazer uma simplificação nesta equação. Observando que, para ângulos pequenos \(\text{sen}\,\theta\approx\theta\), reescrevemos a equação do pêndulo como
$$
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{l}\theta=0,\;\;\;\text{ ou } \;\;\; \ddot{\theta}+k^{2}\theta=0,
$$

onde fizemos \(k=g/l.\) Esta é uma equação linear, a equação do oscilador harmônico, cujas soluções são
$$
\theta(t)=c_{1}\cos\sqrt{k}t+c_{2}\text{sen}\,\sqrt{k}t,
$$

como podemos verificar facilmente, por substituição.

A Solução de uma Equação Diferencial

Dada uma equação diferencial
$$
F(x,\,y,\,y^{\prime},\,y^{\prime\prime},\ldots,\,y^{(n)})=0
$$

buscamos encontrar a função desconhecida \(y(x)\). Uma solução da equação diferencial é a função (ou funções) que, quando inserida na equação original a transforma em uma identidade.

Exemplo 6. Aprenderemos em breve a encontrar a solução da equação
$$
(1+x)y^{\prime}=y.
$$

Por enquanto, podemos verificar que
$$
y(x)=C(1+x)
$$

é solução. Para ver isto derivamos \(y\),
$$
y^{\prime}=C
$$

e substituimos \(y\) e \(y’\) na equação 1 para obter
$$
(1+x)C=C(1+x),
$$

que é uma identidade.

Problema de Contorno ou Valores Iniciais

Vimos que a solução de uma equação diferencial de primeira ordem é, na verdade, uma família de soluções que depende de um parâmetro desconhecido, uma constante de integração, e que duas destas constantes aparecem na solução de uma equação de segunda ordem. Condições adicionais devem ser adicionadas para que estas constantes sejam determinadas, sobre a forma de valores fixados para a solução em um ponto ou mais de seu domínio.

Exemplo 7. Retornando ao problema do exemplo 6 acima, e adicionando uma condição de contorno, temos
$$
(1+x)y^{\prime}=y,\,\,\,y(1)=\frac{1}{2}.
$$

A família de funções
$$
y(x)=C(1+x)
$$

é chamada de solução geral do problema. Com a condição de contorno podemos determinar um valor para a constante \(C\):
$$
y(1)=2C=\frac{1}{2}\Rightarrow C=\frac{1}{4}.
$$

Desta forma encontramos
$$
y(x)=\frac{1}{4}(1+x).
$$

que é a chamada solução particular do problema.

Exemplo 8. A equação diferencial do exemplo 4,
$$
y^{\prime}=-\frac{x}{y}
$$

tem como solução a equação da circunferência
$$
x^{2}+y^{2}=r^{2},
$$

onde \(r\) é uma constante indeterminada. Uma condição de contorno ou valor inicial pode ser utilizado para especificar apenas uma das circunferências como a solução desejada. Digamos que, por qualquer motivo, queremos satisfazer a condição \(y(1)=1\).

Neste caso o valor de \(r\) fica determinado, \(r=\sqrt{2}\), e a solução particular do problema é
$$
x^{2}+y^{2}=2.
$$

Geometricamente, todas as circunferências com centro na origem e raio qualquer são soluções de (2) enquanto apenas uma delas, a que tem raio igual a \(\sqrt{2}\), passa pelo ponto \((1,1)\).

Exercícios

1.Calcule as seguintes integrais:

2. Encontre uma primitiva da função \(f(x)=\frac{1}{x^{2}}+1\) que se anula no ponto x=2.

Nos exercícios seguintes verifique que a função \(y(x)\) dada é solução da equação diferencial. Encontre o valor da constante de integração \(c\) para que o valor inicial dado seja satisfeito:

 
8. Mostre que \(y(x)=x^{-1}\) é uma solução de \(x^{2}y^{\prime\prime}+3xy^{\prime}+y=0\).

9. Encontre o valor da constante \(r\) para que a função \(y(x)=e^{rx}\) seja uma solução de \(y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4=0\).

10. Encontre dois valores para a constante \(r\), de forma que \(y(x)=e^{rx}\) seja uma solução de \(y^{\prime\prime}+y’-2y=0\)

Denotando por \(r_{1}\) e \(r_{2}\) estes dois valores, mostre que a combinação linear \(y(x)=Ae^{r_{1}x}+Be^{r_{2}x}\) também é uma solução.

Algumas soluções:

História das Equações Diferenciais.

Esta seção contém referência a conceitos que só mais tarde serão estudados. Ela serve como uma motivação para o estudo das circunstâncias históricas envolvidas no desenvolvimento desta área da matemática. Não estudaremos neste texto as equações diferenciais parciais nem as não lineares. Consulte a bibliografia para referências nestas áreas.

Equações diferenciais são um ramo importante do cálculo e da análise e representam, provavelmente, a parte da matemática que maior número de aplicações encontra na física e na engenharia. Sua história tem origem no início do cálculo, desenvolvido por Newton e Leibniz no século XVII. Equações que envolvem as derivadas de uma função desconhecida logo apareceram no cenário do cálculo, mas, logo se constatou que elas podem ser de difícil tratamento. As mais simples são aquelas que podem ser diretamente integradas, por meio do uso do método de separação de variáveis, desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz. No século XVIII muitas equações diferenciais começaram a surgir no contexto da física, astronomia e outras aplicações.

A equação de Newton para a gravitação universal foi usada por Jakob Bernoulli para descrever a órbita dos planetas em torno do Sol. Já nesta época ele podia usar as coordenadas polares e conhecia a catenária como solução de algumas equações. Halley usou os mesmos princípios para estudar o movimento do cometa que hoje tem o seu nome. Johann Bernoulli, irmão de Jakob, foi um dos primeiros a usar os conceitos do cálculo para modelar matematicamente fenômenos físicos e usar equações diferenciais para encontrar suas soluções.

Ricatti (1676 — 1754) levou a sério o estudo de uma equação particular, mais tarde também estudada pelos irmãos Bernoulli. Taylor foi o primeiro a usar o desenvolvimento de funções em séries de potência para encontrar soluções. Não havia, no entanto, uma teoria global ou unificada sobre o tema. Leonhard Euler, o primeiro matemático a compreender profundamente o significado das funções exponencial, logaritmica e trigonométricas, desenvolveu procedimentos gerais para a solução de equações diferenciais. Além de usar as funções elementares ele desenvolveu novas funções, definidas através de suas séries de potências como soluções de equações dadas. Sua técnica dos coeficientes indeterminados foi uma das etapas deste desenvolvimento. Em 1739 Euler desenvolveu o método da variação dos parâmetros e, mais tarde, técnicas numéricas que fornecem “soluções aproximadas” para quase todo o tipo de equação. Posteriormente muitos outros estudiosos se dedicaram ao assunto, refinando e ampliando as técnicas de Euler.

O trabalho de d’Alembert na física matemática permitiu que ele encontrasse soluções para algumas equações diferenciais parciais simples. Lagrange seguiu de perto os trabalhos de Euler e aperfeiçoou os estudos aplicados à mecânica, em particular no problema de três corpos e no estudo da energia potencial. Em 1788 ele introduziu as equações gerais do movimento para sistemas dinâmicos, o que hoje é conhecido como as equações de Lagrange, onde fazia uso do chamado cálculo variacional. O trabalho de Laplace na estabilidade do sistema solar produziu novos avanços, incluindo o uso de técnicas numéricas. Em 1799 ele apresentou o conceito de Laplaciano de uma função. Já o matemático Legendre trabalhou com equações diferenciais, primeiramente motivado pelo estudo do movimento de projéteis, examinando pela primeira vez a influência de fatores como a resistência do ar e velocidades iniciais.

Muitos dos desenvolvimentos seguintes se referem às equações diferenciais parciais. Parte importante deste desenvolvimento foi obtida por Joseph Fourier em sua busca por soluções do problema de difusão do calor. Ele desenvolveu uma representação de funções sob a forma de séries infinitas de funções trigonométricas, úteis para o tratamento de equações parciais e diversas outras aplicações. Até o início do século XIX o estudo das equações diferenciais, e do cálculo como um todo, padeciam de uma deficiência crônica no que se refere à fundamentação teórica de seus princípios. Esta fundamentação começou então a ser construída, iniciando pelo entendimento da teoria e conceitos das funções de variáveis complexas. Gauss e Cauchy foram os principais responsáveis por estes avanços. Gauss usou equações diferenciais para aprimorar as teorias de órbitas e da gravitação planetárias e estabeleceu a teoria do potencial como parte importante da matemática. Ele mostrou que as funções de variáveis complexas eram a chave para compreender muitos dos resultados exigidos pelas equações diferenciais. Cauchy usou equações diferenciais para modelar a propagação das ondas na superfície de um líquido. Ele foi o primeiro a definir de forma satisfatória a noção de convergência de uma série infinita, dando início à análise rigorosa do cálculo e das equações diferenciais. Cauchy também desenvolveu uma teoria sistemática para os números complexos e a usou a transformada de Fourier para encontrar soluções algébricas para as equações diferenciais. A solução de equações diferenciais nas proximidades de um ponto singular foi elaborada por Frobenius.

Muitas outras contribuições têm sido acumuladas ao longo da história mais recente. Poisson utilizou as técnicas das equações diferenciais em aplicações na física e em sistemas mecânicos, incluindo a elasticidade e vibrações. George Green aperfeiçoou os fundamentos da matemática utilizada em aplicações da gravitação, da eletricidade e do magnetismo. Baseados nestes fundamentos Thomson, Stokes, Rayleigh e Maxwell, construiram a teoria moderna do eletromagnetismo. Bessel utilizou a teoria das equações para o estudo da astronomia, buscando analisar perturbações dos planetas sobre as suas órbitas. Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de valor de contorno usando equações integrais, um método mais tarde aperfeiçoado Fredholm e Hilbert. Em meados do século XIX novas ferramentas se tornaram necessárias para a solução de sistemas de equações diferenciais. Jacobi desenvolveu a teoria dos determinantes e transformações para a solução de integrais múltipla e equações diferenciais. O conceito de jacobiano de uma transformação foi elaborado em 1841. Cayley também contribuiu para teoria das matrizes e determinantes publicando diversos artigos sobre matemática teórica, dinâmica e astronomia. Gibbs estudou a termodinâmica, eletromagnetismo e mecânica, sendo considerado a pai da análise vetorial. Os avanços durante o final do século XIX adquiriram uma natureza cada vez mais teórica. Em 1876 Lipschitz obteve a prova dos teoremas de existência para equações de primeira ordem. Uma contribuição importante para o estudo das equações diferenciais, apesar de não imediatamente reconhecida pela comunidade dos matemáticos devido a sua falta de rigor, foi feita por Oliver Heaviside. Entre 1880 e 1887 ele desenvolveu o cálculo operacional e o uso da transformada de Laplace para reduzir equações diferenciais a equações algébricas de solução muito mais simples. Como vantagem adicional seu formalismo permite o tratamento de sistemas com entradas descontínuase é extensamente usado na engenharia, especialmente na eletrônica e no tratamento de sinais.

No século XX os maiores impulsos vieram do desenvolvimento de métodos numéricos mais eficientes e da consideração de equações e sistemas de equações diferenciais não lineares. Carl Runge desenvolveu um método para resolver equações associadas à mecânica quântica, atualmente conhecido como método de Runge-Kutta. As equações diferenciais não lineares são um tema que permanece em aberto, recebendo até hoje contribuições importantes. Muitos fenônenos naturais são descritos por equações não lineares. Uma das características destes sistemas consiste na dependência muito sensível das condições iniciais, o que gera comportamentos de difícil previsibilidade que têm sido denominados de caos. Um exemplo importante de sistema não linear é o sistema de equações que descreve o movimento de muitos corpos, por exemplo na descrição do movimento planetário no sistema solar. Outros sistemas não lineares representam o crescimento de espécies em competição, na biologia, o fluxo turbulento de fluidos, a descrição das condições meteorológicas, entre outros. Henry Poincaré (1854 — 1912), matemático, físico e filósofo da ciência, foi um dos precursores nesta pesquisa, sendo o primeiro a descobrir o comportamento caótico das soluções para sistemas de três corpos. Liapunov, Lorenz e muitos outros matemáticos trabalharam nesta área que continua em franca expansão e é de se esperar que o progresso nesta área traga grandes inovações na descrição de diversas áreas do conhecimento.