Até o momento discutimos o movimento de partículas livres e a transformação de seu movimento entre dois referenciais inerciais. Partículas livres descrevem retas em \(M_4\) e estas retas são levadas em outras retas por meio de transformações de Lorentz, já que elas são transformações lineares. Concluímos que, assim como acontece na mecânica clássica sob transformações de Galileu, a inércia não fica alterada de um referencial para outro. Qualquer desvio na linearidade do movimento de uma partícula deve ser atribuído à presença de alguma interação, uma força agindo sobre ela.

Para construir uma dinâmica devemos definir massa e momento sobre esta teoria. Na teoria Newtoniana a massa é uma constante de proporcionalidade entre a aceleração e a força. Na TRE tentamos seguir de perto, tanto quanto possível, as definições e conceitos da mecânica clássica, principalmente tendo em mente que a teoria relativística deve se reduzir à clássica no caso limite de baixas velocidades, em particular no que se refere às leis de conservação.

Construímos, na seção anterior, os quadrivetores
$$
u^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d \tau} = \left( \gamma c, \gamma v \right), \text{} p^{\mu} = mu^{\mu} = \left( \gamma mc, \gamma mv \right) .
$$

Vimos que as partes espaciais destes quadrivetores se relacionam com a velocidade e o momento linear ordinários em 3 dimensões de forma simples,
$$
u_{\left( 4 \right)}^i = \gamma v_{\left( 3 \right)}^i ; p_{\left( 4
\right)}^i = \gamma p_{\left( 3 \right)}^i .
$$

Gostaríamos agora de explorar um pouco mais o significado do componente temporal \(p^0\) do quadrivetor momento, o que faremos na próxima seção, juntamente com o conceito de força generalizada.

Além dos vetores \(u^{\mu}\) e \(p^{\mu}\) , contruídos à partir da linha mundo \(x^{\mu} \left( \tau \right)\) , podemos definir um terceiro vetor
interessante
$$
K^{\mu} = m \frac{d^2 x^{\mu}}{d \tau} = \frac{dp^{\mu}}{d \tau} =
\frac{d}{d \tau} \left( \gamma mc, \gamma mv \right) .
$$

a chamada força generalizada de Minkowsky.\(\mathbb{}\) Denotaremos o componente espacial desta força de \(\vec{F}\) e portanto \(K = \left( K^0, \vec{F} \right)\). Em particular estamos interessados em descobrir as quantidades que se conservam nesta teoria.

Contraindo a força generalizada e a 4-velocidade podemos obter um esclarecimento sobre \ natureza do componente \(p^0\) do momento. Começamos
por notar que
$$
u^{\mu} K_{\mu} = mu^{\mu} \frac{du_{\mu}}{d \tau} = 0.
$$

A expressão acima se anula pois
$$
0 = \frac{d}{d \tau} \left( u_{\mu} u^{\mu} \right) = u_{\mu}
\frac{du^{\mu}}{d \tau} = \left( \frac{du_{\mu}}{d \tau} \right) u^{\mu} =
2 u_{\mu} \frac{du^{\mu}}{d \tau},
$$

já que \(u_{\mu} u^{\mu} = – c^2\) é uma constante. Observe também que usamos neste cálculo o fato de que \(\eta_{\mu \nu}\) é formado por constantes e portanto
$$
u^{\mu} \frac{du_{\mu}}{d \tau} = u^{\mu} \frac{d \left( \eta_{\mu \nu}
u^{\nu} \right)}{d \tau} = \eta_{\mu \nu} u^{\mu} \frac{du^{\nu}}{d \tau}
= u_{\mu} \frac{du^{\mu}}{d \tau} .
$$

Por outro lado
$$
0 = u^{\mu} K_{\mu} = – \left( u^0 K^0 \right) + u^i K_i = – \gamma cK^0 +
\gamma v^i K_i,
$$

de onde tiramos uma expressão para \(K^0\) ,
$$
K^0 = \frac{1}{c} v^i K_i = \frac{1}{c} \vec{v} . \vec{F} .
$$

Prosseguindo na analogia com o caso clássico relembramos a equação 2. Se \(T\) é a energia cinética de uma partícula então
$$
\frac{dT}{dt} = \vec{F} . \vec{v},
$$

o que sugere a adoção da seguinte notação: fazemos
$$
P^0 = \gamma mc = \frac{E}{c}
$$

e, por conseguinte,
$$
K^0 = \frac{1}{c} \frac{dE}{d \tau},
$$

onde \(E\) é a energia total da partícula, cujo sentido exploraremos em seguida. Usando estas definições temos

$$
E = \gamma mc^2 \text{e} \vec{p} = \gamma m \vec{v}, \label{emc2}
$$
generalizações da energia e do momento ordinário, podemos escrever o vetor quadri-momento como

$$
p^{\mu} = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right) . \label{pmu}
$$
A norma deste vetor é invariante,
$$
p^{\mu} p_{\mu} = – \left( \frac{E}{c} \right)^2 + p^2 = – m^2 c^2,
$$

sendo \(p = \left| \vec{p} \right|\). Uma expressão útil pode ser obtida daí,
$$
E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2,
$$

uma expressão que associa a energia total da partícula com sua massa e velocidade. No referencial comóvel, onde \(\gamma = 1\) e \(p = 0\) temos a famosa equação de Einstein
$$
E = mc^2,
$$

válida, como já indicado, apenas no referencial da partícula. Outra relação interessante pode ser obtida para o caso de baixas velocidades, \(\beta \ll 1\). Neste caso usamos a expansão em séries de potências mantendo apenas os termos mais relevantes para escrever \(\gamma \approx \left( 1 + \beta^2 / 2 \right)\) e a equação 7 para a energia se torna
$$
E = \gamma mc^2 \approx \left( 1 + \frac{\beta^2}{2} \right) mc^2 = mc^2 +
\frac{1}{2} mv^2 .
$$

Para baixas velocidades a energia definida na equação 7 é a energia cinética ordinária mais um termo constante que denominaremos energia de repouso da partícula.

Diversos fenômenos observados confirmam a correção destas expressões. Um exemplo interessante é o da aniquilação de um elétron e um pósitron que resulta na completa aniquilação da massa de repouso das partículas iniciais resultando na emissão de fótons com massa de repouso nula que transportam toda a energia inicial do sistema. Reações atômicas que ocorrem dentro de reatores nucleares ou bombas atômicas se utilizam da fissão nuclear, a quebra de núcleos, para a liberação de grandes quantidades de energia. Os núcleos partidos possuem massa menor que a massa inicial, a diferença sendo liberada sob forma de energia transportada por radiação eletromagnética. Um processo análogo, porém inverso, ocorre no interior das estrelas onde núcleos leves, basicamente hidrogênio e hélio, são fundidos em núcleos mais pesados, resultando na liberação de energia.

Leis de conservação

Na Mecânica Clássica as simetrias do sistema considerado levam às leis de conservação. Um sistema homogêneo por translações de coordenadas exibe conservação do momento linear enquanto sistemas isotrópicos apresentam conservação do momento angular. Se um sistema é homogêneo por translaçãoes temporais então ele possue a energia total conservada.

Na Teoria da Relatividade Especial os escalares são as quantidades conservadas. Escalares são invariantes quando se troca de um sistema de coordenada estabelecido em um referencial inercial para outro sistema inercial. Em um referencial comóvel uma partícula tem o 4-momento
$$
p^{\mu} = \left( m_0 c, \vec{0} \right),
$$

onde \(m_0\) é a chamada massa de repouso da partícula, a massa medida por um observador no referencial comóvel. Calculamos \(p^{\prime \mu}\) obtido por meio de uma transformação de Lorentz sobre o momento anterior
$$
p^{\prime \mu} = \Lambda_{\hspace{0.75em} \alpha}^{\mu} p^{\alpha} = \left[
\begin{array}{cccc}
\gamma & \gamma v / c & \hspace{0.75em} 0 & \hspace{0.75em} 0\\
\gamma v / c & \gamma & \hspace{0.75em} 0 & \hspace{0.75em} 0\\
0 & 0 & \hspace{0.75em} 1 & \hspace{0.75em} 0\\
0 & 0 & \hspace{0.75em} 0 & \hspace{0.75em} 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c}
m_0 c\\
0\\
0\\
0
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c}
\gamma m_0 c\\
\gamma m_0 v\\
0\\
0
\end{array} \right],
$$

ou seja,
$$
p^{\prime \mu} = \gamma \left( m_0 c, \hspace{0.25em} m_0 v
\hspace{0.25em}, 0 \hspace{0.25em}, 0 \right) .
$$

Se pretendemos manter a expressão para o momento como composto por energia e momento, \(p^{\mu} = \left( \frac{E}{C}, \hspace{0.75em} m \mathbf{v} \right)\) teremos então que definir
$$
m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 – \beta^2}}
$$

que mostra a dilatação da massa para partículas em altas velocidades. Nenhum objeto com massa de repouso não nula pode ser acelerado até uma velocidade igual ou superior à velocidade da luz.

Podemos mostrar que, na TRE, o quadrivetor momento-energia é uma entidade conservada em um sistema de partículas. Definindo a variação total de momento-energia em um referencial como
$$
\Delta p^{\mu} = \left( \sum^n_a p_a^{\mu} \right)_{final} – \left(
\sum^n_a p_a^{\mu} \right)_{inicial}
$$

onde a soma é realizada sobre todas as partículas do sistema. Em outro referencial os momentos são transformados, para cada partícula, da seguinte forma
$$
p_a^{\prime \mu} = \Lambda_{\nu}^{\mu} p_a^{\nu}
$$

e, portanto, a variação total do momento-energia é
$$
\Delta p^{\prime \mu} = \left( \sum^n_a \Lambda_{\nu}^{\mu} p_a^{\nu}
\right)_{final} – \left( \sum^n_a \Lambda_{\nu}^{\mu} p_a^{\nu}
\right)_{inicial} = \Lambda_{\nu}^{\mu} \Delta p^{\nu} = \Delta p^{\mu} .
$$

Isto significa que se a variação total é nula em um referencial então ela será nula em qualquer referencial inercial. Observe que, para concluir isto, seria suficiente afirmar que a variação total, sendo composta por somas de vetores, é também um vetor. Se transformarmos este vetor para o referencial comóvel os componentes de \(\mathbf{p}\) são, como vimos na equação 8, a energia e o momento ordinário, ambos quantidades conservadas em qualquer reação ou interação de forma que a variação total do sistema será \(\Delta p^{\prime \mu} = 0\). Concluimos assim que
$$
\Delta p^{\mu} = 0
$$

em qualquer referencial inercial. Note, no entanto, que o momento e a energia não se conservam isoladamente.

Convenções e notação

O espaço-tempo é denominado \(M_4\) , o espaço de Minkowsky, cujos pontos são os eventos
$$
\mathbf{x =} \left( x^0, x^1, x^2, x^3 \right) \text{ ou, resumidamente, }
\mathbf{x =} \left\{ x^{\mu} \right\} .
$$

Vetores de \(M_4\) são representados por letras em negrito, \(\mathbf{x, u, p}\) enquanto vetores de \(I \hspace{-4pt} R^3\) são representados por meio de setas \(\vec{x} = \left( x, y, z \right)\) ou \(\vec{x} = \left\{ x^i \right\}\).Algumas vêzes é interessante separar o vetor em suas partes temporal e espacial fazendo, por exemplo,
$$
\mathbf{p} = \left( p^0, \vec{p} \right)
$$

Usamos índices gregos como índices do espaço-tempo,
$$
\alpha, \beta, \mu, \nu = 0, 1, 2, 3,
$$

enquanto índices latinos são puramente espaciais:
$$
i, j, k = 1, 2, 3.
$$

\(\left\{ \mathbf{\hat{e}}_{\mu} \right\}\) é a base canônica de \(M_4\), onde \(\mathbf{\hat{e}}_0\) é um vetor unitário puramente temporal e \(\mathbf{\hat{e}}_1 = \hat{\imath}, \mathbf{\hat{e}}_2 = \hat{\jmath}, \mathbf{\hat{e}}_3 = \hat{k}\).A métrica de Minkowsky é \(\eta_{\mu \nu} = \textit{diag} \left( -, +, +, + \right)\). A base canônica \(\left\{ \mathbf{\hat{e}}_{\mu} \right\}\) é ortonormal em relação à métrica de Minkowsky, ou seja

$$
\mathbf{\eta} \left( \mathbf{\hat{e}}_0, \mathbf{\hat{e}}_0 \right) = – 1,
$$

$$
\mathbf{\eta} \left( \mathbf{\hat{e}}_i, \mathbf{\hat{e}}_j \right) = \delta_{ij} .
$$

A convenção de Einstein para o somatório, onde índices repetidos são somados, é adotada em quase todo o texto. Com ela podemos escrever, por exemplo,

$$
ds^2 = \sum^3_{\mu, \nu = 0} dx^{\mu} dx^{\nu} \eta_{\mu \nu} = dx^{\mu}
dx^{\nu} \eta_{\mu \nu} .
$$

Bibliografia

• Carrol, Sean, M.: Lecture Notes in General Relativity, gr-qc/9712019, Santa Barbara, 1997.
• Lopes, J. L.: A Estrutura Quântica da Matéria, Editora UFRJ, Rio e Janeiro, 1993.
• Misner, C., Thorne, K., Wheeler, A.: Gravitation, W. H. Freeman and Co., San Francisco, 1970.
• Ohanian, H., Ruffini: Gravitation and Spacetime, W. W. Norton & Company, New York, 1994.
• Ramond, P.: Field Theory, A Modern Primer, Addison-Wesley, New York, 1990.
• Weinberg, S.: Gravitation and Cosmology, Principles and Applications of General Theory of Relativity, John Wiley and Sons, New York, 1971.

 

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