Equações do Segundo Grau

As raízes de uma função qualquer \(y = f(x)\) são os valores de \(x\) que tornam nula a função, \(f(x)=0\). Graficamente são os pontos onde o gráfico da função corta o eixo horizontal, \(\mathcal{O}x\).

No caso de uma função polinomial do segundo grau, \(f(x)=ax^{2}+bx+c\), cujo gráfico é uma parábola, queremos encontrar a solução de
$$ax^{2}+bx+c=0$$

onde \(a,b,c,\) são números reais quaisquer. Caso \(a=0\) a equação é do primeiro grau, muito mais fácil de resolver:
$$bx+c=0 \Rightarrow x=\frac{-c}{b}.$$

Se \(a\neq0\) podemos dividir a equação por \(a\) ficando com

$$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$

A operação seguinte é chamada de completar quadrados e é muito útil em muitos contextos. Note que o produto notável
$$\left( x + \frac{b}{2a} \right)^{2} = x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b}{4a},$$

O que nos permite reescrever a expressão acima como:
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0,$$

ou ainda
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^{2}}.$$

No Brasil esta tem sido chamada, incorretamente, de fórmula de Bhaskara. Bhaskara foi um grande matemático e algebrista hindu que escreveu sobre tópicos variados. Existem textos que atribuem a ele descobertas importantes até mesmo na área do cálculo diferencial. Parece, no entanto, que não foi ele quem inventou ou provou esta fórmula. Alguns textos atribuem esta autoria a Sridhara, um matemático que viveu quase um século antes de Bhaskara.

Uma conveção útil consiste em denotar \(\Delta=b^{2}-4ac\). \(\Delta\) é a letra grega delta, que aqui define o que chamamos de discriminante da equação, por um motivo que já veremos. Temos agora
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{\Delta}{4a^{2}}.$$

Extraindo as raízes de ambos os lados temos
$$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4a^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a},$$

sendo que esta é a solução que preocuramos,
$$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

O termo \(\Delta\) é chamado de discriminante porque podemos saber se a equação tem raízes reais ou não apenas pelo estudo de seu sinal. Existem três casos:

\(\Delta>0;\) existe \(\sqrt{\Delta}\) real e a equação tem as duas soluções dadas acima;

\(\Delta=0;\) \(\sqrt{\Delta} = 0\) e a equação possui apenas uma solução real, \(x=-b/2a\);

\(\Delta<0;\) não existe \(\sqrt{\Delta}\) real e a equação não possui raízes reais.

As três situações estão ilustradas na figura 1, onde representamos parábolas com \(a>0\), com concavidade voltada para cima, e \(a<0\), com concavidade para baixo.

Outra solução: mudança de coordenadas

Às vezes você consegue mostrar um resultado, ou resolver um exercício de uma forma diferente daquela que aparece no seu livro texto ou que foi mostrada por seu professor. Sempre é útil explorar estas outras possibilidades e, por isso, vamos desenvolver uma outra forma de chegar à mesma conclusão já exibida.

Observe que as raízes de uma equação do segundo grau na forma de \(y=ax^{2}+c\) (onde \(b=0\)) são simples de serem obtidas
$$
x^{2}=-\frac{c}{a}\Rightarrow x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}.
$$

Uma equação deste tipo correponde à uma parábola simétrica em torno do eixo \(\mathcal{O}y\), (figura 3). O vértice desta parábola ocorre em \(x=0\), enquanto o vértice da parábola mais geral ocorre em \(x=-b/2a.\) Podemos fazer uma transformação de coordenadas deslocando o eixo \(\mathcal{O}x\) fazendo \(X=x+b/2a\), onde \(X\) (maiúsculo) foi usado para diferenciar da antiga coordenada. Isso equivale a estabelecer outro sistema de coordenadas de forma a fazer com que a parábola tenha seu vértice em \(X=0\), o que é mostrado na figura 4. Como
$$
x=X-\frac{b}{2a} \;\;\; \mbox{ portanto } \;\;\; x^{2}=X^{2}-\frac{b}{a}X+\frac{b^{2}}{4a^{2}}
$$
e a expressão da parábola pode ser escrita da seguinte forma
$$
y=aX^{2}-bX+\frac{b^{2}}{4a}+bX-\frac{b^{2}}{2a}+c=aX^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c.
$$

As raizes são, portanto,
$$
X=\pm\frac{1}{2a}\sqrt{b^{2}-4ac}.
$$
Como \(x=X-b/2a\), podemos encontrar a solução para \(x\):
$$
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
$$
como esperado! Esta é uma solução um pouco mais complexa que a primeira mas esta técnica (a de se encontrar outro sistema de coordenadas que simplificam a solução de um problema) é usada em muitas situações, na matemática e suas aplicações. Vale a pena conhecer e dominar este conceito!

Raízes complexas

Este é um tópico um pouco mais avançado, normalmente só visto nos últimos semestres do ensino médio. No entanto não há porque um aluno curioso não possa ler e compreender esta seção! Leia também, neste site, a história dos números complexos e (muitas) outras mais operações que se pode fazer com eles, na seção sobre história do cálculo e no texto sobre variáveis complexas.

Este é um bom momento para antecipar um tópico muito interessante e útil da matemática – os números complexos. Historicamente os complexos só foram compreendidos com o estudo das equações do terceiro grau. No entanto não precisamos de tanto para introduzir e compreender estes números. Suponha, por exemplo, que precisamos resolver a seguinte equação do segundo grau: \(x^{2}+1=0\). Ela corresponde ao caso \(a=1, b=0, c=1\), da equação geral, ou seja \(\Delta=-1\) e não soluções reais. Temos
$$x^{2}+1=0\Rightarrow x^{2}=-1\Rightarrow x^{2}=\pm\sqrt{-1}.$$

Como sabemos, nenhum número real é raiz quadrada de \(\sqrt{-1}\) pois \((-1)^{2}=+1\) e \((+1)^{2}=+1\). Este problema intrigou os matemáticos por muito tempo, até que se propôs tratar o número \(i=\sqrt{-1}\) nas equações como obedecendo as mesmas regras sob as operações já usadas com os números reais. Suas propriedades foram estudadas e \(i\) foi denominado de “a unidade imaginária” (um nome um tanto infeliz que acabou por causar certa confusão e dificuldade na aceitação de seu uso).
Com esta convenção a raiz quadrada de um numero negativo pode ser obtida, por exemplo:
$$\sqrt{-9}=\sqrt{-1\times9}=\sqrt{-1}\sqrt{9}=3i.$$

Isto está correto \((3i)^2=-9\). Esta obordagem se mostrou eficaz e os números complexos (que possuem partes imaginárias) são de grande importância teórica e nas aplicações da matemática.
As seguintes consequências podem ser verificadas:
$$i^2 = i\times i=\left(\sqrt{-1}\right)^{2}=-1;$$
$$i^3 = i\times i\times i=i^2 \times i =-i;$$
$$i^4 = i^2\times i^2=(-1) \times (-1) =+1;$$

e assim por diante. Vamos ver como isso funciona resolvendo a seguinte equação de segundo grau
$$x^{2}-2x+2=0.$$

Identificamos que, neste caso, \(a=1,\,b=-2,\,c=2\). O discriminante é \(\Delta=b^2-4ac=-4\). Opa! Temos ai um caso de equação que não possui raíz real. Mas, como combinado, usaremos \(\sqrt{-4}=2i,\) de onde vemos que as raízes são
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm21}{2}=1\pm i.$$

Isto significa que encontramos duas raízes distintas: \(x=1+i\) e \(x=1-i\) que podem ser verificadas substituindo-se estes valores na equação original.

Um número da forma \(x=a+ib\), onde a e b são reais, é denominado um número complexo. Ele possui uma parte real, a, e uma parte imaginária, b. Estes números podem ser representados no plano de Argand, figura 2, onde a parte real é desenhada ao longo do eixo \(x\) (horizontal), a parte imaginária ao longo do eixo \(y\) (vertical).

Representamos matematicamente este conjunto da seguinte forma:
$$\Bbb{C}=\left\{ x+iy;\,x,y\in\Bbb{R}\right\} .$$