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06/03/2011

Variáveis Complexas

Guilherme Santos Silva

1.1 História dos Números Complexos

Nestas notas apresentamos o estudo das variáveis complexas e algumas aplicações, incluindo alguns exercícios resolvidos e exercícios propostos. O resumo não é completo mas procura esclarecer apenas os aspectos da mais importantes da teoria. A leitura dos exercícios resolvidos e a solução dos exercícios propostos é essencial para a plena compreensão do assunto.

Números complexos, variáveis complexas e funções destas variáveis formam um parte da matemática extremamente importante devido a suas aplicações e porque lançam um entendimento fundamental sobre os fundamentos da matemática e sobre o cálculo.

As equações do segundo grau apareceram na Matemática aproximadamente 1700 anos antes de Cristo, e foram registradas em tabuletas de argila na Suméria. Em alguns casos elas levavam a raízes de números negativos que, em geral, eram descartadas. O primeiro exemplo de raiz de número negativo foi publicado, aproximadamente em 75 d.C. por Heron, em um cálculo sobre o desenho de uma pirâmide onde surge a necessidade de avaliar a raiz $\sqrt{84-100}$. Heron, no entanto, simplesmente substituiu este número por $\sqrt{100-84}$.

Aproximadamente no ano 275 d.C. Diofanto de Alexandria, resolvendo um problema geométrico, chegou à equação

cujas raízes são $x=(\pm 43\sqrt{-167})/12$. Ele continuou seu estudo sem dar maiores explicações sobre o significado da raiz de um número negativo. Por volta de 850 d.C. o matemático indiano Mahavira afirmou que "... como na natureza das coisas um negativo não é um quadrado, ele não tem, portanto, raiz quadrada". Bhaskara (1114 – 1185 aproximadamente) afirmou: "O quadrado de um afirmativo é um afirmativo; e a raiz quadrada de um afirmativo é dupla: positiva e negativa. Não há raiz quadrada de um negativo pois ele não é um quadrado."

Luca Paccioli (1445 – 1514), matemático italiano, publicou em 1494 um texto onde afirmava que a equação $x^2+c=b x$ só é solúvel se   b² ≥ 4 c  e o francês Nicola Chuquet (1445 – 1500) faz observações semelhantes sobre "soluções impossíveis" em uma publicação de 1484.

Gerônimo Cardano (1501 – 1576) acreditava que quando surgiam raízes de números negativos na resolução de um problema isto apenas indicava que o mesmo não tinha solução. Apesar disso ele resolveu um problema que consiste em dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes tal que o produto delas seja 40, a partir da equação $x(10-x)=40$ ou $x^2-10x+40=0$ cujas soluções são $x=5\pm \sqrt{-15}.$ Cardano sustentava que esta equação não tem solução, mas observou que a soma das duas raízes é 10 e seu produto é 40, desde que se aceite que ${\left(\sqrt{-15}\right)}^2=-15$.

Embora a solução de equações do segundo grau já demandem a existência dos complexos, o reconhecimento da necessidade destes só surgiu na resolução da equações do terceiro grau, dos seguintes tipos: $x^3+a x=b,x^3=a x+b$ e $x^3+b=a x.$ Em 1545 Cardano publicou uma fórmula para resolver equações do terceiro grau, que ficou conhecida por Fórmula de Cardano. Sabemos, no entanto, que ele recebeu de Tartaglia (1500 – 1557 aproximadamente) a sugestão para esta fórmula. Raphael Bombelli (1526 – 1573) um admirador de Cardano, decidiu escrever um livro sobre os mesmos assuntos procurando explorar o assunto com maior clareza, e o publicou em 1572. Neste livro, enquanto resolvia a equação $x^3=15x+4$ pela fórmula de Cardano encontrou a raiz

solução desprezada por Cardano como sendo “irredutível”. Bombelli, no entanto, propôs o que ele mesmo chamou de “idéia louca”, a sugestão de que $\sqrt{-1}$ pudesse ser usado matematicamente desde que observadas algumas regras (aquelas que hoje chamamos de álgebra dos complexos). Neste caso o número $a+b\sqrt{-1}$ é raiz de $2+\sqrt{-121}$ se ${(a+b\sqrt{-1})}^3=2+\sqrt{-121}$ ou, após manipulação algébrica, $a=2$ e $b=1$. Desta forma a raíz citada acima se converte

uma solução real que pode ser verificada diretamente na equação cúbica a ser resolvida.

Uma das dificuldades que Bombelli se deparava era a de não possuir uma notação adequada para seus cálculos. Ele usava uma notação sincopada, uma forma resumida da descrição literal que era feita anteriormente. Por exemplo, ele escrevia

Observe que nesta época até mesmo o entendimento dos números negativos não estava totalmente consolidado, sendo que $-121$ era escrito como $0-121$. Mesmo assim ele pode mostrar o papel importante que os números conjugados complexos viriam a desempenhar no futuro. Efetivamente o símbolo $\sqrt{-1}$ foi usado pela primeira vez por Albert Girard em 1629 em um texto onde enunciava claramente as relações entre raízes e coeficientes de uma equação.

A partir do trabalho de Bombelli os números complexos passaram a ser usados de forma pragmática, como ferramentas auxiliares na solução de problemas, mesmo que se duvidasse de sua coerência lógica formal. A primeira tentativa para atribuir um significado concreto aos números complexos por meio de uma "interpretação geométrica" é devida a John Wallis (1616 – 1703) que discutiu a impossibilidade da existência de quantidades imaginárias que, segundo ele, seriam tão defíceis de definir quanto as quantidades negativas.

Em 1702 Jean Bernoulli afirmou que um número e seu oposto tem o mesmo logaritmo, ou seja, que $\log a=\log (-a)$. Esse fato intrigou muitos matemáticos do início do século XVIII, dado que até então eles não sabiam como atribuir valores ao logaritmo de um número negativo. A solução foi estabelecida por Euler em 1747 em uma carta enviada a d'Alembert.

Abraham de Moivre publicou em 1707 a solução da equação de grau ímpar, por um método análogo ao de Cardano. A fórmula de de Moivre,

foi publicada em 1722 para alguns casos particulares do argumento θ. Em 1748 Euler, além de demonstrar a validade da fórmula para o caso geral, estendeu sua validade para todo expoente real, estabelecendo definitivamente a existência de raízes no campo complexo. Neste período começou a se consolidar a representação geométrica para os complexos, o que facilitou muito a sua aceitação por parte dos matemáticos da época e fez com que muitos deles se dedicassem a este tema e contribuíssem para este campo da matemática.

No século XVIII Kühn e Caspar Wessel apresentaram novos progressos na direção da teoria atualmente conhecida. Os escritos de Wessel foram publicados nos Anais da Academia de Copenhagen de 1799, sendo um texto extremamente claro e completo, mesmo em comparação com as obras modernas. Neste texto ele introduziu a representação geométrica para os complexos que usamos até os dias de hoje. Seu objetivo, além de justificar os complexos, era o de representar direções no plano de uma forma analítica. Apesar de ter sido bem sucedido na representação geométrica dos complexos, de definir as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão deste números, o artigo estava escrito em dinamarquês e não teve ampla divulgação nem se tornou conhecido dos matemáticos da época.

Em 1804 o abade Buée, sem conhecer os textos de Wessel, apresentou o mesmo conceito sugerido anteriormente por Wallis, de que $\sqrt{-1}$ deveria ser representado em uma reta perpendicular ao eixo real. O artigo de Buée só foi publicado em 1806, no mesmo ano em Argand publicou sobre o mesmo assunto. O trabalho de Argand foi reconhecido como o introdutor da representação geométrica e deu origem ao termo hoje usado, plano de Argand, para representar o plano complexo.

O uso do símbolo i como unidade imaginária, $i=\sqrt{-1},$ foi adotado por Euler em 1777, mas só publicado em 1794 em seu Institutionum calculi integralis. Ele observou na época que $i i=-1$ o que leva à $1/i=-i$. O símbolo se tornou amplamente aceito após seu uso por Gauss em 1801. Os termos real e imaginário foram usados René Descartes desde 1637 mas a denominação número complexo só foi introduzida por Gauss em 1832.

Quando Gauss se interessou pela teoria dos complexos, em 1831, ele a considerou bastante incompleta e trabalhou para aperfeiçoá-la e difundi-la entre os matemáticos da época. Gauss estava interessado em descobrir as propriedades geométricas de quantidades complexas. Assim como Wessel, ele procurava entidades análogas aos complexos que pudessem ser usadas na descrição de direções no espaço tri-dimensional.

A formalização completa dos números complexos como pares ordenados de números reais foi desenvolvida em 1833 por Hamilton e em 1847 por Cauchy. Também se deve mencionar que os esforços de Cauchy e Abel foram importantes para que a teoria fosse amplamente aceita e utilizada. Vários outros matemáticos fizeram contribuições importantes: Kummer (1844), Kronecker (1845), Scheffler (1845, 1851, 1880), Bellavitis (1835, 1852), Peacock (1845), e De Morgan (1849). Também se deve lembrar os artigos de Möbius sobre aplicações geométricas dos complexos, e Dirichlet pela expansão da teoria para envolver os primos, congruências ou reciprocidade, entre outros aspectos estudados.

Além da familiar forma dos complexos, $a+b i$, onde $i$ é a raiz de $x^2+1=0,$ outros estudos foram empreendidos. Eisenstein estudou números do tipo de $a+b j$, onde $j$ é a raiz complexa de $x^3-1=0$. Uma generalização devida em grande parte a Kummer estuda as raízes complexas derivadas de $x^k-1=0,$ onde $k$ é um primo. Galois estudou números complexos baseadas nas raízes imaginárias de uma congruência irredutível $F\left(x\right)\equiv 0$ (mod p) onde p é primo. Estudos mais recentes da teoria, após o ano de 1884, foram realizados por Weierstrass, Schwarz, Dedekind, Hölder, Berloty, Poincaré, Study e Macfarlane.

A terminologia atualmente empregada na matemática em relação aos complexos é principalmente devida a seus fundadores. Argand chamava cos φ + i sen φ de fator de direção, e $r=\sqrt{a^2+b^2}$ o módulo do complexo. Cauchy (1828) denominava cos φ + i sen φ a forma reduzida (l'expression réduite); Gauss usou i para denotar $\sqrt{-1}$, introduziu a expressão número complexo para se referir ao número da forma $a+b i$, com $a$ e $b$ reais, e chamou $a^2+b^2$ de norma do complexo. A expressão coeficiente de direção, ainda hoje utilizada, é devida a Hankel (1867), e valor absoluto, para módulo, é devida a Weierstrass.

Capítulos deste Artigo

1. Números Complexos e sua Álgebra
2. Funções Analíticas
3. A teoria da Integral
4. Séries de Potências
5. Teorema dos Resíduos

Sobre o autor ...

Guilherme Santos Silva

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Minha formação acadêmica:

• Doutor em Matemática pela Universidade de Brasília
• Mestre em Física pela Universidade de Brasília
• Bacharel em Física pela Universidade Federal de Minas Gerais

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