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06/03/2011

Desenvolvimentos Posteriores

Nem Newton, nem Leibniz, nem seus seguidores imediatos foram capazes de estabelecer uma base rigorosa para o cálculo. Não estava claro como a soma de elementos muito pequenos, tais como $f\left(x\right)dx,$ deveria resultar em uma quantidade finita. Na mecânica, se $\Delta x$ é a variação espacial ocorrida em um tempo $\Delta t,$ ambos infinitesimais, que sentido teria a velocidade instantânea, entendida como um quociente, $v=\Delta x/\Delta t?$ A fundamentação rigorosa do cálculo teria ainda que aguardar por muitos anos. A ausência de um formalismo algébrico consistente e o apego aos métodos geométricos herdados dos gregos representou uma dificuldade para este avanço. Na visão de Leibniz a preocupação excessiva com o rigor ausente não deveria impedir o uso e os progressos da disciplina. Como sabemos hoje o conceito que faltava era exatamente o conceito de limite, só estabelecido rigorosamente no século XIX.

Um grande esforço foi feito por diversos pensadores quando o bispo George Berkeley (1685-1753) divulgou em 1734 um panfleto intitulado The Analyst atacando a ausência de rigor que se verificava no cálculo da época. Novos progressos foram atingidos pelos seguidores de Newton e Leibniz, em parte na tentativa de responder a estes ataques. Entre eles estavam Jacob e Johann Bernoulli, discípulos de Leibniz. Nove membros da família Bernoulli se destacaram na matemática ou na física, sendo que os principais foram os irmãos Jakob (1654-1705) e Johann (1667-1748) e o filho deste, Daniel (1700-1782). A teoria das probabilidades, os princípios do cálculo e a integração das equações diferenciais foram algumas das contribuições dos Bernoulli.

Jakob (Jacques) Bernoulli estudou teologia mas desde cedo, apesar da oposição de seu pai, mostrou vocação para a matemática. Suas principais contribuições foram a descoberta, em conjunto com seu irmão Johann, de que a série harmônica é divergente, a solução do problema da braquistócrona⁽⁶⁾, a demonstração do teorema do binômio para expoentes inteiros e positivos e a introdução dos polinômios e dos números de Bernoulli, de grande importância para demonstrações de diversos teoremas da álgebra e para o estabelecimento de fórmulas do cálculo. Ele também contribuiu para a geometria diferencial com seu estudo sobre geodésicas de uma superfície.

Johann (Jean) Bernoulli iniciou os estudos matemáticos com o irmão Jakob. Formou em medicina mas logo dedicou-se ao estudo do cálculo integral e diferencial. Estudou o movimento pendular e estabeleceu suas características e formulou conceitos matemáticos referentes à ótica. Durante um período que passou em Paris ele foi professor do marquês de L'Hospital (1661-1704) ensinando a ele a nova disciplina criada por Leibniz. Em seguida assinou um documento se comprometendo a enviar ao marquês suas descobertas matemáticas, em troca de um salário regular, para que ele as usasse como quisesse. Como resultado o marquês publicou como sua uma das mais importantes contribuições de Bernoulli, desenvolvida em 1694 e mais tarde conhecida como regra de L' Hospital sobre indeterminações. A regra que Bernoulli desenvolvera afirma que, se $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ são diferenciáveis em $x_0,$ $f\left(x_0\right)=0$ e $g\left(x_0\right)=0$ então

desde que exista este último limite. Embora não sendo o autor intelectual dos conceitos expostos L' Hospital realizou um bom trabalho didático e de compilação de forma que seu livro, Analyse des infiniment petits, publicado em Paris, 1696, foi amplamente utilizado até o final do século XVIII.

O segundo filho de Johann, Daniel Bernoulli, estudou lógica, filosofia e medicina, assumindo a posição de professor de mecânica, física e medicina. Considerado por alguns historiadores como o fundador da física matemática ele formulou o princípio da conservação de áreas, que complementa o princípio da conservação de massa de Newton e dedicou-se a diversos campos do conhecimento científico, como a fisiologia, a astronomia, o magnetismo, as correntes oceânicas e as marés. Em sua obra mais importante ele analisa as propriedades dos fluidos, formula a teoria cinética dos gases e expõe o teorema de Bernoulli, segundo o qual a pressão de um fluido diminui quando sua velocidade aumenta.

Historicamente sempre houve a necessidade de se representar funções, pelo menos como uma aproximação, por meio de polinômios. Como vimos foi desta forma que Newton e outros realizaram as primeiras operações de derivação e integração. Além disto existe a necessidade prática de se calcular o valor de diversas funções para uso em aplicações. Tábuas de valores para as funções logaritmo e trigonométricas eram necessárias para o uso na astronomia, cartografia e navegação, entre outros. Uma forma simples para a obtenção de tais tábuas era a de interpolar valores, ou seja, conhecidos os valores de uma função em dois pontos próximos os valores intermediários podiam ser obtidos por interpolação linear, supondo que a função fosse linear entre estes valores. Matematicamente, se conhecemos $f\left(a\right)$ e $f\left(b\right)$ então $f\left(x\right)$ pode ser aproximada pela reta

pelo menos para pontos interiores ao intervalo $[a,b]$ e esta aproximação será tanto melhor se a e b estiverem próximos.

Figura 3: Secante e Tangente

Observe que se $b$ é tomada arbitrariamente próximo de $a$ então temos a equação da tangente à curva de $f\left(x\right)$ no ponto $x=a:$

Logo se tornou claro que aproximações mais refinadas poderiam ser obtidas aproximando-se a função por polinômios de ordem superior. Em 1624 um matemático chamado Briggs já utilizava esta abordagem. Uma generalização foi obtida por Newton em 1676 e, de modo independente, por James Gregory em 1670. Estas expansões, além de permitir o cálculo de valores para funções com precisão arbitrária também servia na avaliação de integrais e cálculos de áreas, reduzindo a operação de integrar uma função genérica à integração de $x^n$ através da fórmula de Fermat,

No esforço de sistematizar e estabelecer critérios de rigor para o cálculo, grandes progressos forma conseguidos por matemáticos do século XVIII, quando surgiram as teorias das Equações Diferenciais, das Séries Infinitas, da Geometria Diferencial, Cálculo das Variações e tópicos de análise. Neste período viveram matemáticos importantes como Taylor, Euler, d'Alembert, Lagrange e Laplace.

Um resultado já obtido por Gregory e Leibniz, mas só publicado em 1715 por Brook Taylor (1685-1731) estabelece formalmente a expansão de funções diferenciáveis em séries de potências. Matemático inglês, Taylor escreveu o primeiro tratado sobre o cálculo das diferenças finitas, estudou tópicos diversos em matemática, sobre a trajetória da luz num meio homogêneo, a freqüência das vibrações e oscilação transversal de uma corda. A fórmula de Taylor é a seguinte: uma função analítica $f$ pode ser aproximada em uma vizinhança do ponto $x=a$ pelo polinômio de grau $N$

onde definimos

Por analogia com a teoria das funções de variáveis complexas dizemos que uma função é analítica quando possui derivadas de todas as ordens e estas derivadas são contínuas. Portanto, uma função é analítica se, e somente se, possui expansão de Taylor. Um caso particular desta expansão foi publicado em 1742 por Colin MacLaurin (1698-1746), onde se fazia $a=0.$

Taylor, como seus contemporâneos, não trabalhava com o conceito de limite. Ele simplesmente fazia os desenvolvimentos em termos de uma quantidade suposta infinitesimal, digamos $\Delta h,$ e ao final da operação tomava $\Delta h=0.$ Esta falta de rigor dos primeiros tempos do cálculo, em flagrante contraste com rigor atingido pelos geômetras gregos, alimentaram a oposição daqueles que se opunham ao cálculo.

Por muitos anos os matemáticos trabalharam com as expansões em séries de potência até uma ordem $N,$ como se as funções pudessem ser fielmente representadas por polinômios. Diferenciações e integrações eram obtidas operando-se no polinômio, termo a termo. Embora este procedimento estivesse correto algumas vezes também dava origem a resultados incorretos e até absurdos. O que estava faltando eram a noção de convergência de uma série e os testes para estabelecer esta convergência. A própria noção de limite não estava estabelecida com clareza.

Um passo importante para a rigorização do cálculo foi obtido por Euler. Leonhard Euler (Suiça: 1707-1783) foi um matemático de interesses variados e que produziu uma extensa obra científica. Como estudante Euler mostrou precocidade, despertando a atenção dos principais matemáticos de sua época, como Jean Bernoulli e seus filhos. Ele produziu trabalhos sobre Mecânica, Astronomia, Ótica, Cartografia, Acústica, entre outros tópicos da Física. Euler foi um dos primeiros cientistas a defender a teoria ondulatória da luz, em oposição à teoria corpuscular de Newton, amplamente adotada na época. Na matemática ele expôs os fundamentos de sua contribuição na obra Introductio in analysim infinitorum (Introdução à análise dos infinitos) publicada em 1748. Euler trabalhou sobre os fundamentos da geometria analítica e do cálculo, desenvolveu a teoria das funções trigonométrica e logaritmica e simplificou as operações relacionadas à análise matemática. Além disto trabalhou na teoria dos números e criou o Cálculo Variacional, o estabelecimento de pontos críticos de funcionais, ou funções que dependem de outras funções, hoje uma das ferramentas básicas da física, particularmente na mecânica clássica e quântica e na teoria das partículas e campos. Ele foi o fundador da Mecânica Analítica, um aperfeiçoamento formal da mecânica newtoniana com poder de cálculo bastante superior aos métodos usados por Newton e estabeleceu os fundamentos da Geometria Diferencial, que consiste no estudo de curvas e superfícies por meio dos métodos do cálculo, generalizado mais tarde por Riemann em sua geometria de curvas e hiper-superfícies de qualquer dimensão.

Euler escreveu inúmeros livros e artigos científicos, mesmo após ter perdido a visão aos sessenta anos. Ele foi o responsável pela adoção de diversos símbolos hoje consagrados na literatura da matemática, tais como a letra grega $\Sigma$ para indicar uma soma e a letra $e$ para designar a base dos logaritmos naturais ou neperianos, $e^x$ para a função exponencial. A famosa fórmula de Euler, $e^{i\theta }=\cos \theta +i\mathrm{sen}\theta ,$ foi obtida quando se buscava uma interpretação coerente para o logaritmo de números negativos. Esta expressão já era conhecida por Jean Bernoulli e outros mas só foi expressa claramente por Euler. Fazendo $\theta =\pi$ na expressão acima temos que $e^{i\pi }=-1$ e, portanto, $\ln (-1)=\pi i,$ um número imaginário puro.

Em meados do século XVIII uma grande renovação intelectual teve início na França. Juntamente com Voltaire, Rousseau e Diderot, Jean Le Rond d'Alembert (França: 1717-1783) empreendeu a edição da célebre Encyclopédie que tanta ressonância teve naquele século e assentou a base cultural do movimento que culminou na revolução francesa de 1789. Recém nascido, d'Alembert foi abandonado por pais de origem aristocrática nos degraus da igreja de St. Jean Baptiste Le Ronde, de onde tirou seu nome, tendo sido recolhido por pessoas humildes que o criaram. Mais tarde, já um matemático de renome, ele haveria de recusar a reaproximação da mãe biológica, dando preferência a ser conhecido como filho de seus humildes pais adotivos.

d'Alembert estudou Direito e Medicina mas abandonou as estas atividades para se dedicar exclusivamente à matemática. Em 1741 publicou sua obra Traité de dynamique onde estabelece que a lei de ação e reação postulada por Isaac Newton também se aplica aos corpos sólidos rígidos, estudo de profunda relevância no projeto e construção de estruturas construídas para suportar grandes cargas. Ele também fez contribuições para a mecânica de fluidos, astronomia e ótica. No cálculo ele se opunha ao uso que Euler fazia das diferenciais de uma função, supondo que são quantidades nulas embora qualitativamente diferentes de zero. Em seu artigo para a Encyclopédie sob o verbete diferencial ele escreveu que “a diferenciação de equações consiste simplesmente em achar os limites da razão de diferenças finitas de duas variáveis na equação”. Este ponto de vista afasta a noção da diferencial como grandezas infinitesimalmente pequenas. A formulação de limites de d'Alembert não foi exposta sob forma clara e não foi aceita por seus contemporâneos que continuaram a usar a linguagem de Leibniz e Euler. Esta situação durou até o século XIX.

O matemático e físico Joseph Louis de Lagrange (Itália: 1736-1813) teve importância decisiva para o desenvolvimento da teoria dos números, do cálculo e da mecânica celeste. Ele estudou o movimento da Lua e publicou vários trabalhos contendo notas complementares à gravitação newtoniana, sobre a teoria dos números, probabilidade e equações diferenciais e análise de problemas algébricos, precursores da teoria de grupos, desenvolvida mais tarde por Évariste Galois.

Lagrange escreveu bem menos que Euler mas manteve sempre em seus escritos grande rigor e cuidados, o que lhe valeu a fama de maior matemático de seu século. Em sua obra principal, Mécanique Analytique (1788) Lagrange propôs um formalismo aperfeiçoado para o estudo da mecânica analítica, o que estabeleceu esta disciplina em definitivo como um ramo da análise matemática. Em 1797 ele publicou Théorie des Fonctions Analytiques onde procurou as bases algébricas do cálculo, sem a necessidade da consideração de quantidades infinitesimais. Partindo do desenvolvimento em séries de potências para uma função, estabelecido por Taylor, ele apresentava suas derivadas em termos dos coeficientes da expansão. Sua obra representou a fundação do maior rigor que seria alcançado no século XIX.

O físico, matemático e astrônomo francês, Pierre Simon Laplace (França: 1749-1827) pesquisou eletromagnetismo, probabilidade e mecânica celeste. De origem modesta, ele se destacou quando estudante e foi recomendado por d'Alembert para o cargo de professor da Escola Militar de Paris, em 1769. Ele chegou a colaborar com Lavoisier no estudo dos processos químicos em biologia, mostrando que a respiração orgânica é uma forma de combustão produzida pela oxidação de substâncias orgânicas. Laplace realizou uma compilação das teorias astronômicas de Isaac Newton, Edmundo Halley e outros cientistas cujas obras encontravam-se dispersas e, em seguida, realizou cálculos cuidadosos sobre os efeitos da gravitação de cada planeta sobre os demais corpos do sistema solar, descobrindo que as órbitas ideais propostas por Newton apresentavam desvios. Em seus estudos associados à atração gravitacional Laplace estudou a equação diferencial

que deveria ser satisfeita para $\varphi ,$ o potencial gravitacional no vácuo. A mesma equação pode ser escrita, em notação moderna, ${\nabla }^2\varphi =0,$onde $\nabla$ é o operador vetorial $({\partial }_x,{\partial }_y,{\partial }_z).$ No entanto esta equação apareceu pela primeira vez em um artigo de Euler sobre hidrodinâmica, em 1752.

Em Exposition du système du monde (1796) Laplace propôs a teoria da formação nebular para o sistema solar que leva seu nome. Seus trabalhos sobre a teoria da probabilidade tornaram-se amplamente conhecidas e respeitados. Laplace estudou a transformação de uma função em outra, hoje denominada transformada de Laplace, $L\left\{f\left(t\right)\right\},$ dada pela integral imprópria

mais tarde utilizadas pelo engenheiro elétrico Oliver Heaviside (1850-1925) para a construção de um método para a solução de equações diferenciais particularmente importante no estudo de sistemas elétricos e mecânicos envolvendo oscilações, amortecimentos e fenômenos correlatos.

O trabalho desenvolvido por mais de quarenta anos por Adrien Marie Legendre (França: 1752-1833) no setor das integrais elípticas forneceu instrumentos analíticos básicos para a física matemática. Ainda jovem Legendre foi nomeado professor de matemática da Escola Militar. Ele escreveu quatro dissertações sobre a atração dos esferóides. Na primeira, de 1783, estudou as funções que receberam seu nome e são soluções para a equação diferencial

que surgem freqüentemente em problemas que envolvem simetria esférica, tais como o potencial elétrico em torno de distribuições esféricas de cargas e a distribuição eletrônica no átomo de hidrogênio. As soluções podem ser obtidas pelo método de séries de potências fazendo $y={\Sigma }_0^{\infty }{a}_n{x}^n$. Para o caso de $l$ inteiro não negativo a série infinita é truncada para um valor de $n$ e as soluções são os polinômios de Legendre:

Legendre adquiriu notoriedade por obra Éléments de géométrie (1794), escrita, nas palavras do autor, "para satisfazer o espírito" onde ele procurava manter um alto nível de rigor formal. Legendre desenvolveu o método dos mínimos quadrados e, em 1798, publicou o primeiro livro exclusivamente à teoria dos números onde contribuiu para assentar as bases de um dos mais famosos problemas da aritmética, o da distribuição dos números primos. Já era conhecido, desde Euclides, que os números primos são infinitos. Embora seja claro que a densidade dos primos diminua para inteiros crescentes muitos estudiosos procuraram a regra de descrição desta densidade $\pi \left(n\right),$ exprimindo o número de primos menores que $n.$ Legendre fez conjecturas aproximadas para a solução desde problema⁽⁷⁾.

Os trabalhos de Legendre, apesar do impulso dado ao crescimento da matemática, foram superados rapidamente pelos esforços de Carl Friedrich Gauss, em aritmética, e Niels Abel e Karl Jacobi, nas funções elípticas. Ele não mostrava grande simpatia para com Gauss, mas recebeu com entusiasmo as contribuições de Abel e Jacobi. Numa demonstração de altruísmo Legendre divulgou estes trabalhos com prazer, embora elas tornassem obsoletos os esforços de toda sua vida.

Vimos que o estabelecimento das séries de potência para a representação de funções sempre representou um papel importante no estabelecimento do cálculo, tanto para a operação de derivação como para a integração. Mas um novo formalismo para a descrição de funções como séries infinitas estava ainda por ser encontrado por Jean Baptiste Joseph Fourier (França: 1768-1830).

Fourier era filho de um alfaiate e mostrou cedo ter grande talento para a matemática. Ele participou ativamente na revolução francesa de 1789. Em 1795 se tornou professor da recém-criada École Normale e, em seguida, da École Polytechnique. Aproveitando-se de suas viagens ao Egito, motivadas pelo trabalho em política, Fourier fez estudos sobre a civilização antiga daquele povo e deixou contribuições notáveis no campo da egiptologia.

Fourier estava interessado em aplicar o formalismo matemático na solução de problemas físicos. Em sua obra mais importante, Théorie analytique de la chaleur (1822), ele mostrou que a condução do calor em corpos sólidos pode ser expressa por meio de séries trigonométricas infinitas. As séries trigonométricas propostas por Fourier se baseiam na ortogonalidade das funções seno e cosseno:

onde ${\delta }_{mn}=1$ se $m=n,$ ${\delta }_{mn}=0$ se $m\ne n.$ É possível então escrever uma expansão em séries trigonométricas para uma função contínua com derivada contínua⁽⁸⁾ e periódica com período $2l$ da seguinte forma:

onde os coeficientes $a_n$ e $b_n$ são dados por

Em uma apresentação para a Academia de Ciências de Paris, em 1807, Fourier descreveu seu trabalho afirmando que qualquer função poderia ser representada por uma série desta forma. Lagrange, presente à reunião, ficou surpreso e negou em termos definitivos que tal coisa pudesse ser correta. Embora tenha exagerado na generalidade do método o trabalho de Fourier motivou uma grande quantidade de pesquisas em andamento até os dias de hoje, sobre as condições impostas à função para que seja representável desta forma e os critérios de convergência. As séries de Fourier estão geralmente associadas ao tratamento das equações diferenciais parciais e se aplicam a um grande número de problemas físicos e matemáticos, inclusive no tratamento de sinais, na compactação de informações e na base do formalismo matemático da mecânica quântica. Uma generalização deste conceito resulta na transformada de Fourier, que pode ser obtida heuristicamente pela tomada do limite $l\to \infty .$

Um trabalho importante para o estabelecimento do rigor no cálculo foi realizado pelo tcheco Bernhard Bolzano (1781-1848), um sacerdote católico que se dedicou ao estudo da filosofia e da matemática. Bolzano era um ativista em favor das reformas que buscavam a diminuição das desigualdades sociais, da condenação do militarismo e da guerra e pela liberdade de pensamento. Na matemática ele definiu, em 1817, o conceito de continuidade de uma função nos moldes em que hoje o conhecemos e criou o critério de convergência hoje chamado de “critério de Cauchy”. Ele também demonstrou o teorema do valor intermediário e o teorema de Bolzano-Weierstrass. Um de seus objetivos era o de estabelecer uma base formal e analítica para os métodos do cálculo, eliminando das demonstrações a intuição geométrica. Seus escritos, às vezes considerados pouco claros e excessivamente voltados para os fundamentos, receberam pouca divulgação e só foram devidamente apreciados na década de 1870.

Mais um dos responsáveis pelo lançamento das bases rigorosas do cálculo foi Augustin Louis Cauchy qeu viveu na França de 1789 a 1857. Cauchy foi considerado um dos matemáticos mais importantes dos tempos modernos. Formado em engenharia, publicou grande quantidade de artigos matemáticos e solucionou um problema proposto por Lagrange que estabelece uma relação entre o número de lados, vértices e faces de um poliedro convexo. Em 1814 publicou um trabalho sobre integrais definidas, que serviria de base para o desenvolvimento da teoria das funções complexas e, no ano seguinte, estudou os grupos de permutação, impulsionando a moderna teoria dos grupos.

Cauchy realizou trabalhos sobre mecânica, propagação das ondas e hidrodinâmica. Em 1822 lançou as bases da teoria matemática da elasticidade. Suas principais contribuições para a matemática, sempre pautadas pelo rigor e clareza dos métodos empregados, estão expostas em três grandes tratados: Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821), Le Calcul infinitésimal (1832) e Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie (1826-1828).

Quatro anos após o surgimento do trabalho de Bolzano, que Cauchy desconhecia, ele publicou seu Cours d'analyse onde aparecem as definições de limite, continuidade de funções e o chamado critério de convergência, já desenvolvido por Bolzano e que leva seu nome. Ele também fez contribuições importantes para a álgebra linear e teoria dos determinantes. O próprio conceito de determinante, que recebeu de Cauchy esta designação, já havia sido empregado por Gauss mas só foi definitivamente incorporado à matemática graças a Cauchy.

A primeira demonstração correta da convergência das séries de Fourier e as condições sobre as funções para que esta convergência ocorra foi obtida em 1829 por Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). A definição de função usualmente apresentada nos cursos de cálculo modernos é basicamente a mesma apresentada por Dirichlet em 1837. A seguinte "função de Dirichlet" foi proposta por ele para mostrar a generalidade do conceito de função:

Esta função impulsionou Riemann a realizar estudos mais aprofundados sobre a teoria da integração. Apesar de ser mais conhecido pelas suas contribuições em análise e equações diferenciais Dirichlet foi também um grande pesquisador da teoria dos números.

George Friedrich Bernhard Riemann (Alemanha: 1826-1866) influenciou profundamente a geometria e a análise. Embora sendo um matemático de idéias profundas e inovadoras Riemann era uma pessoa tímida e não gostava de exposição. Como estudante em Göttingen e Berlim ele se interessou pela teoria dos números primos, as funções elípticas e a geometria, que relacionou com as teorias mais modernas da física de sua época. Em 1851 doutorou-se com uma tese sobre os fundamentos de uma teoria geral das funções, estabelecendo relações entre os números complexos e a geometria. Nesta tese aparece uma sistematização das condições, já conhecidas no tempo de Euler, que uma função de uma variável complexa $f\left(z\right)=u+iv$ deve satisfazer para ser uma função analítica⁽⁹⁾, as chamadas equações de Cauchy-Riemann: $u_x=v_y,u_y=-v_x.$

Após um levantamento feito sobre o desenvolvimento histórico das séries trigonométricas, de d'Alembert a Dirichlet, Riemann percebeu que seria necessário estabelecer uma interpretação inequívoca da integração de uma função, desenvolvendo a integral de Riemann, e aplicando-a ao estudo das séries trigonométricas. A integral de Riemann pode ser definida da seguinte forma: se $f$ é uma função real limitada, definida no intervalo $[a,b],$ construímos partições deste intervalo, $a={\xi }_0<{\xi }_1<\cdots <{\xi }_n=b.$ Para cada partição definimos as somas

onde $M_i$ e $m_i$ são, respectivamente, o maior e o menor valor assumidos por $f$ no subintervalo $[{\xi }_{i-1},{\xi }_i].$ A integral superior$$ e a integral inferior $$ de Riemann são definidas como

onde $inf$ e $sup$ são respectivamente o ínfimo e o supremo, consideradas todas as possíveis partições do intervalo. Se os dois valores são iguais então se diz que a função é integrável à Riemann e sua integral é denotada simplesmente ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx.$

Figura 4: Integral de Riemann

Em 1854 o matemático, ao preparar uma dissertação para ingressar como professor assistente em Göttingen, Riemann abandonou os postulados da geometria euclidiana e formulou uma geometria mais geral, que englobava as geometrias de Nikolai Lobatchevski e János Bolyai, que ele desconhecia. Sua conferência, intitulada Sobre as hipóteses que estão nos fundamentos da geometria, se tornou célebre pela profundidade e generalidade dos conceitos apresentados. Nela ele não apresentava nenhum exemplo específico de seus conceitos e propunha o estudo de uma geometria como o estudo de variedades com qualquer número de dimensões em qualquer tipo de espaço, não necessariamente formado por conjuntos de pontos ou retas. A distância entre dois pontos infinitesimalmente próximos, na geometria euclidiana é dada por

o que é apenas uma dupla aplicação do teorema de Pitágoras. Riemann generalizou este conceito para tratar espaços onde estas distâncias são dadas por

no caso de três dimensões. Generalizando para um espaço de $n$ dimensões, e usando uma notação mais compacta

onde denotamos $x=x_1,$ $y=x_2,$ etc. A matriz $G=\left\{g_{ij}\right\}$ é denominada a métrica do espaço. Observamos que a geometria euclidiana, em R³, é um caso particular onde

Este formalismo foi utilizado por Albert Einstein em sua Teoria da Relatividade Geral.