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06/03/2011

História do Cálculo

2: Newton e Leibniz

Isaac Newton

Isaac Newton

“Platão é meu amigo, Aristóteles é meu amigo, mas a Verdade é a minha melhor amiga”
Isaac Newton (1643 - 1727)

Issac Newton (1642-1727) nasceu no ano da morte de Galileu Galilei em Woolsthorpe, Inglaterra. Ele veio de uma família abastada, embora seu pai fosse um homem com pouca educação formal. Newton teve uma infância infeliz, não tendo conhecido seu pai que morreu antes que ele completasse um ano de idade. Sua mãe, Hannah Ayscough, se casou com o ministro da igreja de um vilarejo próximo e o jovem Isaac foi deixado com seus avós. Há indícios de que Newton sofreu de forte ressentimento pelo casamento da mãe, ao mesmo tempo em que não desenvolveu vínculos fortes com os avós.

Com a morte do padrasto em 1653, Newton passou a viver com a mãe, avó, um meio-irmão e duas meia-irmãs. Como estudante ele demonstrava poucas habilidades e interesse e, por isto, foi tirado da escola para cuidar dos interesses financeiros de sua mãe. Newton também não mostrou interesse em realizar esta tarefa. Em 1960, por influência de William Ayscough, tio de Newton, a família decidiu prepará-lo para a educação superior. Nesta época ele se alojava com a família de Stokes, o chefe da escola, que percebendo os talentos de Newton, foi um dos responsáveis por convencer a família de que ele possuía habilidades para o trabalho acadêmico.

Pouco se conhece sobre o que Isaac teria aprendido antes de ingressar na universidade, particularmente em matemática. Com certeza ele recebeu de Stokes um bom impulso e orientação e é possível que tenha tido o primeiro contato com Os Elementos de Euclides nesta época. Há um número de pequenas histórias, sem maior comprovação, de que Newton era hábil com as máquinas e gostava de construir modelos de relógios e moinhos.

Finalmente, em 1661, quando já era mais velho que a maioria dos colegas, Newton ingressou no Trinity College de Cambridge. Apesar de sua posição financeira confortável ele entrou como um sizar, uma espécie de posição de serviçal em relação aos outros colegas. Newton pretendia inicialmente se formar em Direito.

O currículo em Cambridge naquela época era dominado pelos estudos da filosofia aristotélica até o terceiro ano. A partir dai Newton se dedicou a estudar os textos de Descartes, Gassendi, Hobbes e, em particular, de Boyle. Ele também mostrou interesse pelas teorias revolucionárias de Copérnico, Kepler e Galileu em astronomia e ótica. Gradualmente ele se envolveu com o estudo da matemática e da física. Existe um relato, por parte de de Moivre, de que seu interesse pela matemática foi incrementado em 1663 quando comprou um livro de astronomia e não pode entender a matemática envolvida. Dai ele passou a fazer um esforço para aprimorar seu conhecimento desta disciplina, principalmente através do estudo de uma versão de Barrow de Os Elementos de Euclides. Em seguida ele passou a estudar a recém desenvolvida geometria analítica através dos textos de Viète e René Descartes. Neste período ele aprendeu sobre o método de Wallis para encontrar um quadrado com área sob segmentos da parábola e da hipérbole, usando os indivisíveis.

Ao receber sua graduação em abril de 1665 Newton não havia ainda mostrado toda a sua genialidade. Em 1665 a universidade foi fechada por causa da epidemia da peste negra (peste bubônica) que se espalhava por toda a Europa e Inglaterra. Newton se recolheu na casa de sua mãe onde aprofundou, por conta própria, seus estudos e investigações. Com menos de 25 anos de idade ele iniciou sua carreira fazendo contribuições importantes para a matemática, mecânica, ótica e astronomia. Neste período, como ele próprio relatou depois, ele fez quatro de suas grandes descobertas: o teorema binomial, o cálculo, a lei da gravitação universal e a natureza das cores. O método dos fluxos, como ele denominava o cálculo, estava baseado no reconhecimento fundamental de que as operações de derivação e integração estavam associadas, sendo simplesmente uma a operação inversa da outra. Partindo da derivação com operação básica ele desenvolveu técnicas analíticas que unificavam diversas abordagens anteriores para solucionar questões que antes se julgava serem não correlacionadas, tais como o cálculo de áreas, tangentes a curvas, comprimento de segmentos de curvas e a localização de máximos e mínimos de funções.

Quando a Universidade de Cambridge reabriu, ao término da peste negra em 1667, Newton foi aceito como professor no Trinity College. Nesta época se iniciaram os esforços de Barrow para divulgar os resultados obtidos por Newton que mantinha um contato bastante restrito com a comunidade científica de sua época. Aparentemente por receio às críticas e ao plágio ele tendia a não expor de pronto os seus métodos e, quando o fazia, não os relatava com clareza.

Em outubro de 1666 Newton escreveu um tratado sobre os fluxos. Seu trabalho não foi imediatamente publicado mas muitos matemáticos da época o conheciam de forma que o tratado exerceu grande influência sobre o desenvolvimento do cálculo naquele período. Ele iniciou suas considerações tratando uma curva como sendo a trajetória de uma partícula, dada por suas coordenadas em função do tempo. Em linguagem moderna ele representava a curva de uma função sob a sua forma paramétrica, usando o tempo como parâmetro - uma forma bastante apropriada para quem deseja estudar o movimento de uma partícula. A velocidade no sentido horizontal $\dot{x}$ e a velocidade vertical $\dot{y}$ eram os fluxos de $x$ e $y$ associados à passagem do tempo. Com esta notação $\dot{y} / \dot{x}$ representa a tangente à curva $f (x, y) = 0$ .

Em seu tratado de 1666 Newton discute a problema inverso. Dada a relação entre $x$ e $\dot{y} / \dot{x}$ procurava-se encontrar $y$ . Desta forma a inclinação da tangente era dada para cada $x .$ Considerando conhecida a inclinação a cada instante, Newton resolvia o problema por antidiferenciação (integração). Ele também usou o mesmo processo para calcular áreas e, pela primeira vez na história, ele afirma claramente o Teorema Fundamental do Cálculo, que estabelece a conexão entre os processos de derivação e de integração.

Em 1671 Newton escreveu De Methodis Serierum et Fluxionum mas não o conseguiu publicar até que John Colson preparou uma tradução para o inglês em 1736. Newton encontrou diversas dificuldades para publicar seu textos em matemática e, de certa forma, Barrow tinha parte da responsabilidade por isto. Em tempos recentes os editores de Barrow tinha ido a falência e os demais editores se encontravam receosos em continuar a publicação de textos sobre matemática. O livro de Newton sobre Análise contendo um tratamento das séries infinitas foi escrito em 1669 e circulou pelos meios acadêmicos em forma manuscrita, só sendo publicado em 1711. Da mesma forma seu Method of fluxions and infinite series foi escrito em 1671 e somente traduzido para o inglês e publicado no ano de 1736. O original em latim só foi publicado muitos anos mais tarde.

Nestas duas obras Newton encontrou as expansões em séries de potências para as funções $x$ e $\cos x,$ assim como a expansão para a função que hoje conhecemos como função exponencial. Naquele tempo não havia uma definição clara desta função, o que foi estabelecido bem mais tarde por Euler, também o responsável pela atual notação, $e^{x}$ . As expansões em séries de potências para funções analíticas são hoje conhecidas como séries de Taylor ou de Maclaurin, dependendo do ponto em torno dos quais são consideradas. Através das expansões em séries de potência para cada função

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} + \dots

Newton resolveu o problema da quadratura, ou seja, o de encontrar áreas subentendidas pelas curvas destas funções, fazendo a integração termo e termo,

\int f (x) d x = a_{0} x + a_{1} \frac{x^{2}}{2} + a_{2} \frac{x^{3}}{3} + \dots + a_{n} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + \dots,

o que, como hoje se sabe, somente está correto se a série é convergente.

A obra seguinte de Newton, Tractatus de Quadratura Curvarum, foi escrito em 1693 e só publicado em 1704 sob a forma de um apêndice em seu livro Optiks. O Tractatus contém uma outra abordagem que envolve uma operação primitiva de tomar limites. Para ilustrar o método de Newton suponha, por exemplo, que queremos derivar a função $y = x^{2} .$ Lembrando que ele tratava as variáveis sob a forma $x (t)$ e $y (t),$ nas palavras de Newton "devido ao fluxo de $x$ com a passagem do tempo" $,$ quando o tempo progride de uma quantidade $o,$ as variáveis mudam da seguinte forma

\begin{array}{ll} x = x (t), & x \to x + \dot{x} o \\ y = y (t), & y \to y + \dot{y} o . \end{array}

Dada a relação entre $x$ e $y$ ( $y = x^{2},$ no caso)

y \to y + \dot{y} o = {(x + \dot{x} o)}^{2} = x^{2} + 2 x \dot{x} o + {\dot{x}}^{2} o^{2}

\dot{y} o = 2 x \dot{x} o + {\dot{x}}^{2} o^{2} \Rightarrow \dot{y} = 2 x \dot{x} + {\dot{x}}^{2} o .

Tomando o como zero, no que deveria ser um limite, obtém-se $\dot{y} = 2 x \dot{x} .$ A taxa de variação de $y$ com $x,$ que é a inclinação da reta tangente é $\dot{y} / \dot{x} = 2 x .$

Como professor Lucasiano, o primeiro trabalho de Newton foi um curso dedicado à Ótica, iniciado em janeiro de 1670. Neste curso ele ensinava que a luz branca não é uma entidade simples mas sim composta por luz de diversas cores, como se pode observar no espectro obtido por meio de um prisma. Vale ressaltar que, desde Aristóteles, sempre se acreditou no contrário. A observação do efeito de aberração cromática em telescópios levou Newton a esta conclusão, bem como à sugestão da construção de telescópios refletores, que se utilizam de espelhos parabólicos no lugar de lentes para a obtenção de uma imagem ampliada dos objetos celestes.

Em 1672 Newton foi aceito membro da Royal Society e publicou seu primeiro artigo sobre a luz e a cor no periódico Philosophical Transactions of the Royal Society. Este artigo foi bem aceito pela comunidade científica mas também deu origem a críticas e oposições. Hooke e Huygens argumentaram contra a tentativa de Newton de provar que a luz possuía natureza corpuscular e não ondulatória. Devido ao peso da opinião de Newton este foi um erro que persistiu por muito tempo no estudo da luz até que experiências com o fenômeno da refração, no século XIX, indicaram uma preferência pelo modelo ondulatório. Vale dizer que hoje existe um modelo corpuscular da luz, e da radiação eletromagnética em geral, como parte integrante da moderna teoria quântica. No entanto, nenhum dos fenômenos de que fato evidenciam a natureza corpuscular da luz era conhecido na época de Newton. As críticas recebidas levaram Newton a adotar uma posição ainda mais retraída e ser mais reticente com relação a suas descobertas. Embora apreciasse a notoriedade ele ressentia enormemente as críticas recebidas e julgava que uma forma de evitá-las seria evitar a publicação de suas idéias.

As relações de Newton com Hooke se deterioraram em 1675, quando Hooke o acusou de plágio em algumas de suas conclusões em ótica. Isto fez com que Newton adiasse a publicação de suas conclusões em ótica até a morte do adversário, em 1703. O livro Opticks só apareceu em 1704, tratando da teoria da luz e da cor.

Por volta de 1678, em parte devido a uma nova discussão com os jesuítas sobre sua teoria da luz e devido à morte de sua mãe, Newton sofreu seu primeiro colapso nervoso. Muitos historiadores sustentam a tese de que seu envolvimento com as experimentações alquímicas e subseqüente exposição a vapores de mercúrio e outros metais teria contribuído para fragilizar seu sistema nervoso. É certo que ele passou grande parte de sua vida estudando alquimia, religião cronologia do Apocalipse e outros temas esotéricos, tendo escrito diversos tratados sobre estes assuntos.

As maiores contribuições de Newton para a física foram suas descobertas sobre a mecânica e a gravitação universal. Partindo de sua própria compreensão de forças centrífugas e da terceira lei de Kepler para o movimento planetário ele deduziu que duas partículas de massa $m_{1}$ e $m_{2}$ respectivamente se atraem com intensidade diretamente proporcional a suas massa e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas,

F = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} .

Ele foi o responsável pelo entendimento de que a força que age sobre a Lua, por exemplo, é a mesma força que atrai uma maçã para o chão, nas proximidades da superfície. Este entendimento, simples para a mente moderna, representou um grande passo dentro de um contexto cultural que predominantemente acreditava que os objetos celestes eram de natureza divina, em oposição aos de natureza terrena, e que não deveriam obedecer às mesmas leis. Ele representa uma grande unificação de princípios, assim como aquela obtida mais tarde por Maxwell e outros físicos na unificação das teorias da eletricidade e do magnetismo.

Em 1686 Halley, astrônomo e amigo de Newton, o convenceu a publicar uma descrição completa de suas descobertas sobre física e astronomia. Um ano mais tarde ele publicou o Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ou simplesmente Principia, como se tornou conhecido o livro. Este é considerado por muitos historiadores da ciência como o maior livro científico já escrito. Nele Newton trata do movimento dos corpos em meios resistentes e não resistentes e sob a ação de forças centrípetas. Os resultados podem ser aplicados a órbitas celestes, projéteis, pêndulos e corpos em queda livre nas proximidades da superfície da Terra. Em seguida Newton forneceu explicações sobre as órbitas excêntricas dos cometas, as marés e suas variações, a precessão do eixo da Terra e a perturbação do movimento da Lua pela atração gravitacional do Sol. Este trabalho o transformou no principal cientista de sua época embora diversos pensadores da Europa continental e da própria Inglaterra relutassem em aceitar suas visões sobre a gravitação como ação à distância, sua teoria corpuscular da luz, sua versão do cálculo em contraposição à versão de Leibniz e outros tópicos localizados.

Em 1685 James II se tornou rei da Grã-Bretanha, se convertendo ao catolicismo em 1669. Em seguida ele passou a nomear apenas católicos para cargos nas forças armadas e outros postos oficiais de estado. Posteriormente o rei passou a preencher postos vagos na Universidade de Cambrigde com catedráticos fiéis à Igreja Católica. Quando ele insistiu para que um monge beneditino recebesse os graus acadêmicos sem a necessidade de prestar exames ou proferir os juramentos de praxe na época, Newton assumiu a posição de opositor declarado do rei, uma disputa que durou até a fuga de James II e a tomada do poder por William de Orange. Newton, já visto como o maior matemático de sua época, agora famoso pela firme defesa da Universidade, foi eleito para um cargo político no Parlamento. Isto resultou em sua mudança para Londres, com o conseqüente afastamento de Cambridge e das atividades acadêmicas.

Em 1693 Newton sofre um segundo colapso nervoso e abandona suas atividades de pesquisa. Desta vez, além do envenenamento por metais, podem ter contribuído o descuido com os hábitos alimentares, uma frustração com o impacto de suas pesquisas no meio acadêmico e a dificuldade em se relacionar com os colegas, muitas vezes advindas de diferenças em suas convicções religiosas. Além disto houve o rompimento de uma amizade pessoal com Fatio de Duillier, um matemático suiço que residia em Londres. É provável que ele tenha sofrido de depressão durante grande parte de sua vida.

Em 1696 Newton foi designado para o cargo de Guardião da Casa da Moeda, mais tarde Mestre da Casa da Moeda. Ele coordenou com grande eficiência um período difícil de recunhagem da moeda, necessário devido ao grande volume de moeda falsa em circulação na época. Além de eficiente Newton foi rígido na perseguição e punição dos falsificadores.

Em 1703 Newton foi eleito presidente da Royal Society, mantendo este cargo até o final de sua vida. Em 1705 ele foi feito cavalheiro pela rainha Anne, sendo o primeiro cientista a receber esta distinção como reconhecimento por seu trabalho. Contudo toda a última fase de sua vida foi dominada pelo ressentimento causado pela controvérsia com Leibniz sobre a autoria da Cálculo.

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Leibniz (1646-1716) nasceu em Leipzig, Alemanha, filho de Friedrich Leibniz, um professor de filosofia moral e cristão fervoroso e Catharina Schmuck. Leibniz perdeu o pai com apenas seis anos e aprendeu da mãe os valores religiosos e éticos que nortearam sua vida e filosofia. Na escola ele aprendeu a lógica de Aristóteles. Insatisfeito com a filosofia aristotélica dominante na época ele iniciou o desenvolvimento de suas próprias idéias sobre como aperfeiçoá-la. Ainda criança ele apreciava ler os livros de seu pai sobre metafísica e teologia nas visões de escritores católicos e protestantes. O próprio Leibniz reconheceu mais tarde como uma constante em sua vida a preocupação em estabelecer um ordenamento por trás do pensamento lógico e da dedução matemática, assim como uma tentativa sempre presente de estabelecer contatos entre pontos de vista conflitantes e o de unificar os diversos sistemas de pensamento.

Gottfried Leibniz (1646-1716)

Ao completar 16 anos, algo não muito incomum na época, Leibniz entrou para a Universidade de Leipzig onde estudou filosofia e matemática. Nenhuma destas disciplinas era, na época, ensinada com grande nível de aprofundamento. Após sua graduação, obtida em 1663, ele passou um período em Jena estudando com com Erhard Weigel, um filósofo e matemático com quem aprendeu a importância do método de provas matemáticas em assuntos tais como lógica e filosofia. Em 1663 Leibniz retornou a Leipzig para o programa de doutorado em Direito. Lá ele obteve primeiro o grau de Mestre em filosofia, tendo sido mais tarde recusado para o grau de doutor em Direito. Aparentemente isto ocorreu porque ele era muito jovem e havia na época poucos orientadores disponíveis. Se esperava então que ele aguardasse um ano até sua aceitação. Ao invés de esperar Leibniz foi para a Universidade de Altdorf, recebendo o grau de doutor em Direito em 1667.

Uma vez formado Leibniz iniciou uma carreira voltada para a diplomacia enquanto participava em diversos projetos científicos, literários e políticos. Ele se relacionava igualmente bem com católicos e luteranos e manteve durante toda a sua vida um interesse em trabalhar para a reunificação das igrejas. Outro de seus projetos permanentes era a intenção de reunir de forma organizada todo o conhecimento acumulado até a sua época. Simultaneamente Leibniz começou a estudar o movimento buscando explicar os resultados obtidos por Wren e Huygens sobre colisões elásticas. Em 1671 ele publicou Hypothesis Physica Nova onde afirmava, em acordo com Kepler, que o movimento é decorrente da ação do espírito sobre a matéria. Neste período, passou a se comunicar com Oldenburg, o secretário da Royal Society de Londres, um dos responsáveis por seu contato com Isaac Newton.

Diferente de Newton, Leibniz apreciava viajar pela Europa fazendo contatos com outros matemáticos e filósofos, se aproveitando para isto de sua posição como diplomata. Juntamente com sua atuação na diplomacia ele iniciou suas primeiras tentativas para construir uma máquina calculadora. Em Paris, no anos de 1672, Leibniz estudou matemática e física com Christian Huygens de quem recebeu a sugestão de trabalhar com séries. Em 1673 Leibniz visita a Royal Society em Londres onde apresentou sua tentativa incompleta de construir sua calculadora. Nesta ocasião, em contatos com Hooke, Boyle e Pell ele se atualizou sobre os resultados mais recentes obtidos em séries. Mais tarde, embora ausente de Londres, Leibniz recebeu críticas na Royal Society, especialmente no que se referia à máquina de calcular. Estas críticas tiveram um efeito interessante sobre Leibniz. Ele percebeu que seus conhecimentos em matemática eram, de fato, incompletos e que necessitavam de aprimoramento. Sem se abater ele redobrou seus esforços se aprofundar nesta disciplina.

Leibniz foi aceito membro da Royal Society de Londres em 1673 e iniciou um estudo sobre a geometria dos infinitesimais, trocando correspondência sobres estes esforços com Oldenburg que, por sua vez, o informou sobre os avanços de Newton nesta área. Deve-se notar que, neste período, Leibniz não gozava de grande reputação com os membros Royal Society devido à sua incapacidade de concluir sua máquina calculadora. Simultaneamente Oldenburg desconhecia que ele havia, devido a seus esforços para se superar, se transformado em um gênio criativo da matemática.

Em Paris, na mesma época, Leibniz começou a desenvolver os princípios de sua versão do cálculo. Consciente de que, para o pleno desenvolvimento de uma ferramenta matemática, era necessária a adoção de uma notação consistente e de fácil manipulação ele dedicou um bom tempo para o estabelecimento de sua notação que é basicamente a mesma que usamos até hoje. É sabido que suas primeiras anotações eram confusas e de difícil leitura. Já em 1675 ele escreveu um artigo manuscrito onde usava pela primeira vez a notação $f (x) d x .$ No mesmo artigo ele apresentou a regra para a diferenciação de um produto. Em 1676 Leibniz apresentou a diferenciação de

d x^{n} = n x^{n - 1} d x,

para $n$ inteiro ou fracionário.

Em 1696 Leibniz aceitou um cargo na biblioteca de Hanover, onde ficou até o fim de sua vida. Ele continuou mantendo contato com outros matemáticos da época e viajando pela Europa. Outros projetos foram iniciados neste período, tais como moinhos bombeadores de água para serem empregados em minas nas montanhas de Harz. Seus projetos tecnológicos não foram bem sucedidos mas suas observações sobre a geologia das montanhas o levaram a propor a hipótese de que a terra foi formada no passado por lava derretida.

Além de seus trabalhos em cálculo Leibniz obteve outros resultados importantes em matemática. Ele trabalhou com sistemas aritméticos binários e com o conceito de determinantes, usado na solução de sistemas de equações lineares. Sobre a mecânica ele questionou o sistema de Descartes e examinou os conceitos de energia potencial e cinética e de momento.

Leibniz era um homem atuante, que buscava difundir as idéias mais modernas e interagir com os demais pensadores de seu tempo. Ele esteve envolvido na formação de academias e sociedades científicas e não seria exagero dizer que ele esteve em contato com a maioria dos matemáticos da época. Um exemplo foi sua correspondência com Grandi, iniciada em 1703, onde se discutiu o paradoxo obtido ao se atribuir o valor $x = 1$ na expansão em série para

\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots .

Na filosofia ele buscou aperfeiçoar seu sistema de redução do raciocínio a uma álgebra do pensamento. Ele publicou seu Meditationes de Cognitione, Veritate et Ideis (Reflexões sobre o Conhecimento, Verdade e Idéias) visando aperfeiçoar sua teoria do conhecimento. Em 1686 Leibniz escreveu Discours de Métaphysique e, em 1710, Théodicée onde tratava da questão da existência do mal em um mundo criado por Deus. Neste tratado ele afirmava que o mundo necessariamente teria que ser imperfeito, caso contrário não seria distinto de Deus. No entanto, deveria ser o mais perfeito possível sem, no entanto, violar a lei natural. A eliminação dos desastres naturais, segundo ele, envolveria alterações tão dramáticas na lei natural que resultariam em um mundo ainda pior. Em 1714 Leibniz escreveu Monadologia sintetizando sua obra filosófica.

Leibniz era um homem de interesse e atuação universais, um livre-pensador incansável. Profundamente dedicado ao entendimento mútuo entre pessoas, escolas e correntes de pensamento, ele deliberadamente optou por ignorar a fragmentação entre as disciplinas que, já naquela época, se instalava no ambiente das universidades. Ele julgava que uma eventual deficiência em sua formação em determinada disciplina não deveria ser um empecilho para que contríbuisse naquela área. De certa forma ele se mostrava hostil para com a instituição universitária porque julgava que sua estrutura rígida dificultava a interação entre disciplinas, essencial para o avanço do conhecimento.

É interessante notar como um homem de interesse universalista, dedicado ao processo de compreensão mútua entre escolas de pensamento diversas, tenha se envolvido em uma disputa tão áspera e duradoura com outro grande gênio, como ocorreu com Newton sobre a autoria do cálculo.

Newton versus Leibniz

Durante as viagens que fez pela Europa Leibniz estabeleceu contato com diversos matemáticos importantes da época. Ele estudou matemática e física com Christian Huygens em Paris, em 1672 e esteve com Hooke e Boyle em Londres no ano de 1673. Na mesma ocasião ele adquiriu diversos livros sobre matemática, inclusive os trabalhos de Barrow, com quem manteve extensa correspondência. Retornando para Paris Leibniz realizou importantes contribuições na área do cálculo, julgando que seu trabalho fosse muito diferente do de Newton. Newton tratava as variáveis como funções do tempo enquanto Leibniz considerava suas variáveis $x$ e $y$ como valores assumidos sobre seqüências de valores infinitamente próximos. Ele introduziu a noção de $d x$ e $d y$ como diferenças entre valores próximos dentro destas seqüências. Leibniz sabia que podia calcular a inclinação da tangente como $d y / d x$ mas não usou este fato como definição da reta tangente.

Para Newton a integração consistia de se encontrar fluentes para um dado fluxo e, desta forma, a complementariedade da diferenciação e da integração como operações inversas estava implícita. Leibniz usava a integração como uma soma, de forma muito similar àquela usada por Cavalieri e, mais recentemente, por Riemann. Ele também se sentia à vontade com o uso dos infinitesimais $d x$ e $d y,$ enquanto Newton usava a notação $\dot{x}$ e $\dot{y}$ que representavam velocidades finitas. Nem Leibniz nem Newton pensavam em termos de funções e sim em termos dos gráficos envolvidos. Para Newton o cálculo era formado por operações geométricas enquanto Leibniz fez maior progresso na direção da análise.

Leibniz tinha consciência de que a definição e adoção de uma boa notação era de fundamental importância e se dedicou com esforço a esta questão. Por outro lado seu rival, Newton, parecia escrever mais para si mesmo do que para um público geral e, como conseqüência, tendia a usar uma notação que variava a cada momento. A notação de Leibniz, $\frac{d}{d x},$ enfatizava o aspecto de operador da derivação, o que se revelou muito importante para o progresso posterior da disciplina. Até o ano de 1675 Leibniz já tinha estabelecido a notação

\int x d x = \frac{x^{2}}{2},

que é exatamente a notação usada nos dias de hoje. Seus resultados em cálculo integral foram publicados em 1684 e 1686 sob o nome de Calculus Summatorius. O nome moderno, cálculo integral, só apareceu como sugestão Jacob Bernoulli, em 1690.

Nesta época 1676 Newton escreveu uma carta para Leibniz, enviada por meio de Oldenburg. Nesta carta, que demorou para chegar ao destino, Newton apresentava uma lista de suas conclusões sem dar, no entanto, uma descrição de seus métodos. Leibniz respondeu imediatamente sem perceber que houvera demora tão grande no recebimento daquela carta. Por sua vez Newton acreditou que Leibniz tivera seis semanas para elaborar sua resposta, aperfeiçoando suas considerações sobre o cálculo com base em sua própria carta. Percebendo o descontentamento do colega Leibniz compreendeu que deveria publicar sem atraso uma descrição completa de seus próprios métodos. Uma segunda carta foi enviada a Leibniz em outubro de 1676 onde Newton, ainda que mantendo o tom cortês, sugeria que seus métodos e operações haviam sido plagiados. Leibniz respondeu dando mais detalhes sobre os fundamentos de seu cálculo diferencial e integral, incluindo a regra para a derivação de uma função composta.

Embora Newton reclamasse que Leibniz não havia resolvido nenhum novo problema é inegável que seus métodos e formalismo foram vitais para o desenvolvimento posterior do cálculo. Cabe lembrar que Leibniz nunca considerou a derivada como um limite, um conceito só desenvolvido mais tarde com o trabalho de d'Alembert.

Em 1684 Leibniz publicou em detalhes seu método sobre o cálculo diferencial em um jornal denominado Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus... in Acta Eruditorum. Neste artigo ele usa a notação hoje familiar de $d f$ para a diferencial de uma função, as regras para a derivação de potências, produtos e quocientes de funções. No entanto nem todas as demonstrações estavam presentes. Em 1686 Leibniz publicou um novo artigo sobre o cálculo integral.

O livro de Newton, Principia, apareceu no ano seguinte. O método dos fluxos foi desenvolvido em 1671 mas permaneceu não publicado até 1736, com a tradução para o inglês de John Colson. Este atraso na publicação, em grande parte motivado pela relutância de Newton em aceitar a exposição e críticas dos colegas matemáticos foi o responsável pelo conflito e disputas com Leibniz.

Grande parte das atividades científicas de Leibniz em seus últimos anos de vida estava relacionada com esta disputa sobre a invenção do cálculo. Em 1711 um artigo na Transactions of the Royal Society of London o acusava de plágio. Este artigo, bem como os demais ataques, partiam de partidários de Newton e não dele próprio, diretamente. Em sua defesa Leibniz argumentou que não tivera contato com o cálculo dos fluxos até o conhecimento da obra de Wallis. Em resposta Keill afirmou que a carta enviada por Newton através de Oldenburg continha indicações claras de seu método. Em carta para a Royal Society Leibniz pediu uma retratação, o que motivou a formação de um comitê para julgar a questão. O comitê, formado pelo próprio Newton, julgou a questão sem dar a Leibniz o direito de defesa emitindo parecer favorável a Newton. O relatório final, escrito por Newton, atribuía a ele a autoria do cálculo. Leibniz publicou um panfleto anônimo, intitulado Charta Volans, onde narrava sua versão dos fatos e se utilizava, em sua defesa, de um erro de Newton sobre derivadas de segunda ordem e ordens superiores. Mais uma vez os partidários de Newton vieram a público em sua defesa mas Leibniz se recusou a levar adiante o debate. Ao receber correspondência de Newton, Leibniz respondeu com uma descrição detalhada de sua descoberta do cálculo diferencial.

Entre seus correspondentes Leibniz manteve com Samuel Clarke, um defensor de Newton, um debate sobre os conceitos newtonianos sobre espaço e tempo, ação à distância e atração gravitacional através do vácuo. Parte desta discussão afetou, mais tarde, o pensamento de Ernst Mach e, por sua vez, Albert Einstein, levando à construção da nova teoria mecânica e da atração gravitacional exposta pela Teoria da Relatividade. A defesa apaixonada da posição de Newton e a recusa em adotar a terminologia e notação de Leibniz fizeram com que os progressos do cálculo fossem retardados na Inglaterra, enquanto na Europa continental os seguidores de Leibniz promoviam um rápido avanço da ciência.

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