Matemática

Porque matemática?

A palavra matemática é derivada do grego máthēma (μάθημα) que significa ciência, conhecimento, aprendizagem. O matemático (μαθηματικός) é aquele que aprecia e busca o conhecimento. Neste sentido amplo consideramos aqui a matemática, uma busca lógica, precisa e continuada pelo entendimento de nós mesmo e do universo onde vivemos.

Contamos com a sua contribuição para a divulgação deste conteúdo, bem como para nos enviar críticas e sugestões que nos ajudem a aprimorá-lo!

16/03/2012

Matemática Básica

Raízes da Equação do Segundo Grau

Como demonstrar a fórmula das raízes de uma equação do segundo grau?

Queremos encontrar a solução da equação

onde a, b e c são números reais quaisquer, desde que a ≠ 0. Observe que se a = 0 ficamos com uma equação do primeiro grau, muito mais fácil de resolver. Como a não é nulo podemos dividir a equação por a. Temos então

A operação seguinte é chamada de “completar quadrados” e é muito útil em muitos contextos. Note que

ou seja, temos ai uma boa parte da equação que queremos resolver, que pode, portanto ...

09/03/2012

Matemática na Idade Moderna

Introdução

O mundo moderno se encontra hoje inteiramente modificado pela ciência e pela tecnologia. As relações entre seres humanos e destes com seu meio ambiente foram profundamente transformadas pelo conhecimento e sua aplicação tecnológica. E, por trás deste conhecimento e em praticamente todos os setores, se encontra a matemática. O conhecimento matemático, mesmo em áreas desenvolvidas a princípio de forma totalmente acadêmica, termina por encontrar aplicação em setores diversos da tecnologia e outras áreas diversas. Por outro lado é comum que a possibilidade de aplicação ...

24/02/2012

Matemática na Grécia Antiga

Preliminares Históricos

A Matemática é mais antiga que a civilização. Existem registros muito antigos de contagem por meio de riscos em pedaços de ossos, pedras e moldes de barro originados de uma época em que os agrupamentos humanos eram nômades e não possuíam a palavra escrita. O início da civilização ocorreu no Período Neolítico na Mesopotâmia, na região entre os rios Tigres e Eufrates onde hoje se encontra o Iraque, e no Egito, quando teve início um processo de desertificação das savanas. Os agrupamentos humanos foram forçados a abandonar a vida nômade e se ...

10/12/2011

Porque estamos falhando?

Neste artigo pretendo analisar os motivos pelos quais o ensino das ciências exatas, em particular a matemática, enfrenta dificuldades, propondo algumas correções e sugerindo o debate em torno do assunto.

Minha afirmação de que há um problema com o ensino destas disciplinas não é o resultado de uma pesquisa aprofundada entre professores e egressos dos bancos escolares. Ela simplesmente vem da experiência em sala de aula e da constatação da dificuldade com que os alunos de cursos superiores, especialmente nos períodos iniciais, enfrentam ao cursar disciplinas tais como matemática e física, e a claríssima falta de formação apresentada por eles. A isto acrescento o argumento de que pessoas adultas, mesmo com curso superior completo em área do conhecimento que não em ciências exatas, muito pouco ou quase nada retém como conhecimento assimilado do conteúdo supostamente ministrado durante as fases de ...

08/12/2011

Para que serve a Matemática?

Os professores de matemática hoje se deparam com uma tarefa difícil: a motivação de seus alunos para os tópicos mais áridos desta ciência. Este problema tem diversas causas que vão desde os problemas com a qualidade geral do ensino até, por exemplo, a crença de que “está tudo pronto”, de que nada mais resta a desenvolver ou a descobrir. É comum ouvir reclamações de que um determinado cálculo pode ser realizado rapidamente em um computador e que, portanto, não seria necessário aprender a utilizar aquela técnica. No entanto sabemos que a tecnologia progride a passos rápidos e que o volume de artigos e novas idéias científicas nunca foi tão grande como hoje. Por isto, procurando contribuir para um melhor entendimento de nosso propósito como professores e estudantes de matemática, me proponho perguntar: por que devemos estudar matemática? Para que serve ...

11/04/2011

Desafios e Quebra-Cabeças

A distância mais curta

Dados dois pontos A e B que estão do mesmo lado de uma reta r e não são pontos desta reta, qual é o caminho mais curto ligando A e B e que toca a reta r, (figura 1)?

Figura 1

Figura 2

Considerando que podemos desenhar infinitos caminhos que satisfazem o requisito de ligar e pontos e tocar a reta r, este é um problema de encontrar um mínimo e, quase sempre, este tipo de problema exige um pouco de cálculo em sua solução.

Neste caso o raciocínio geométrico pode ser útil e nos dispensar do cálculo. Comecemos por desenhar um ponto B' simétrico ao ponto B, em relação à reta e observando que a distância entre ...

09/04/2011

Álgebra Linear

O que é Álgebra Linear

A álgebra linear¹ é o ramo da matemática que estuda os espaços vetoriais, ou espaços lineares, além de funções (ou aplicações, ou transformações) lineares que associam vetores entre dois espaços vetoriais. Espaços vetoriais são uma generalização do espaço ℝ³ cotidiano e de senso comum onde vivemos, com dimensões tais como largura, altura e profundidade. Os pontos de ℝ³ podem ser associados a vetores, visualizados nos cursos básicos como setas que tem a base na origem, o ponto (0, 0, 0), e extremo oposto no ponto em questão. Sob diversos aspectos diferentes é equivalente dizer que o próprio espaço ℝ³ é um conjunto de pontos, ou de vetores. Estes vetores e sua álgebra (o conjunto de operações que podem ser realizadas sobre eles) são uma ferramenta importante em diversas áreas da ciência, notadamente na física ...

08/04/2011

Equações Diferenciais Ordinárias

1.1   O que são Equações Diferenciais

Equações diferenciais são equações que envolvem uma função desconhecida de uma ou mais variáveis, e suas derivadas. Para uma função real de uma única variável, y = y(x) podemos expressar estas equações sob a forma geral de

onde usamos a notação

As equações que envolvem derivadas em apenas uma variável são chamadas equações diferenciais ordinárias. Caso contrário, equações que envolvem derivadas em mais de uma variável são chamadas de equações diferenciais parciais. Para não sobrecarregar a notação, sempre que não houver risco de ambiguidade, escreveremos apenas y em lugar de $y\left(x\right),y\text{'}$ em lugar de $y\text{'}\left(x\right)$ ou $dy(\mathrm{x\; ...}$

29/03/2011

Sage: Software Matemático Livre e de Código Aberto

O que é Sage?

Sage é um software matemático livre e de código aberto (open-source), desenvolvido sob a licença GPL por uma comunidade de programadores e matemáticos, que busca ser uma alternativa para os principais sistemas proprietários de software matemático como o Magma, Maple, Mathematica e Matlab. Ele engloba e se utiliza de um grande número de pacotes pré-existentes como Maxima, GAP, Pari/GP, softwares de renderização de imagens e muitos outros, integrando-os em uma interface única que busca ser amigável e de fácil assimilação. Todos os principais pacotes são instalados juntamente com o Sage e muitos outros pacotes existem para extensões em áreas específicas. Por este motivo Sage é adequado para uso em ensino e pesquisa. Sage pode ser utilizado por meio de comandos de linhas interativos ou de um Notebook, uma interface acionada de dentro de um browser ...

23/03/2011

Precálculo

Este artigo está em preparação

Temos, por enquanto, apenas a primeira parte.

Índice

1. Teoria básica dos conjuntos.
2. As regras formais da álgebra. Equações e inequações.
3. Números racionais e irracionais: O que é um número racional? Números racionais, que têm raízes quadradas? A representação decimal de irracionais. O que é um número real?
4. Funções: representação em gráficos e tabelas
5. O que é uma função? O domínio e o intervalo. Notação funcional. A função de uma função. O gráfico de uma função. Pares de coordenadas de uma função. A altura da curva em x. Gráficos básicos. A função constante. A função identidade. A função valor absoluto. Uma parábola. A função raiz quadrada. A função cúbica ...

08/03/2011

História do Cálculo

O Cálculo Diferencial e Integral

A palavra Cálculo vem do latim calculus, que significa pedregulho e é uma reminiscência da técnica primitiva de executar operações matemáticas simples por meio de pequenas pedras. Calculi eram as pessoas que contavam, calculones os professores. Escravos que tinham a função de contadores eram chamados de calculatores enquanto homens livres com a mesma tarefa recebiam a designação de numerarii.

O Cálculo, como o estudo das operações de diferenciação e integração, é o nome de um sistema ou método desenvolvido em grande parte por Newton e Leibniz, independentemente ...

06/03/2011

Variáveis Complexas

1.1 História dos Números Complexos

Nestas notas apresentamos o estudo das variáveis complexas e algumas aplicações, incluindo alguns exercícios resolvidos e exercícios propostos. O resumo não é completo mas procura esclarecer apenas os aspectos da mais importantes da teoria. A leitura dos exercícios resolvidos e a solução dos exercícios propostos é essencial para a plena compreensão do assunto.

Números complexos, variáveis complexas e funções destas variáveis formam um parte da matemática extremamente importante devido a suas aplicações e porque lançam um entendimento fundamental sobre os fundamentos da matemática e sobre o cálculo.

As equações do segundo grau apareceram na Matemática aproximadamente 1700 anos antes de Cristo, e foram registradas em tabuletas de argila na Suméria. Em alguns casos ...